Пусть событие "поражение цели при одном выстреле" — это успех, вероятность успеха при одном выстреле равна ( p = 0,7 ).
Обозначим число успешных поражений из 6 выстрелов как случайную величину ( X ).
Задача: найти вероятность того, что цель будет поражена ровно 3 раза при 6 выстрелах, то есть ( P(X=3) ).
Это задача на биномиальное распределение, так как каждый выстрел — независимое испытание с двумя возможными исходами: успех (поражение) или неуспех.
Формула биномиального распределения:
[
P(X=k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( n = 6 ) — число выстрелов,
- ( k = 3 ) — число поражений,
- ( p = 0,7 ) — вероятность успеха в одном выстреле,
- ( C(n,k) ) — биномиальный коэффициент (число сочетаний).
Шаг 1: Вычисляем биномиальный коэффициент ( C(6,3) ):
[
C(6,3) = \frac{6!}{3! \times (6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
]
Шаг 2: Подставляем значения в формулу:
[
P(X=3) = 20 \times (0,7)^3 \times (0,3)^3
]
Шаг 3: Вычисляем степени:
[
(0,7)^3 = 0,7 \times 0,7 \times 0,7 = 0,343
]
[
(0,3)^3 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,027
]
Шаг 4: Подставляем:
[
P(X=3) = 20 \times 0,343 \times 0,027
]
Шаг 5: Вычисляем произведение:
[
0,343 \times 0,027 \approx 0,009261
]
Шаг 6: Итог:
[
P(X=3) \approx 20 \times 0,009261 = 0,18522
]
Ответ: Вероятность того, что за 6 выстрелов цель будет поражена ровно 3 раза, примерно равна 0,185, или 18,5%.
