Вероятность пробоя цели стрелком при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность того, что после того, как будет сделано 6 выстрелов, цель будет поражена ровно 3 раза?

Пусть событие "поражение цели при одном выстреле" — это успех, вероятность успеха при одном выстреле равна \( p = 0,7 \).
Обозначим число успешных поражений из 6 выстрелов как случайную величину \( X \).

Задача: найти вероятность того, что цель будет поражена ровно 3 раза при 6 выстрелах, то есть \( P(X=3) \).

Это задача на биномиальное распределение, так как каждый выстрел — независимое испытание с двумя возможными исходами: успех (поражение) или неуспех.

Формула биномиального распределения: \[ P(X=k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} \] где:

• \( n = 6 \) — число выстрелов,
• \( k = 3 \) — число поражений,
• \( p = 0,7 \) — вероятность успеха в одном выстреле,
• \( C(n,k) \) — биномиальный коэффициент (число сочетаний).

Шаг 1: Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(6,3) \): \[ C(6,3) = \frac{6!}{3! \times (6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

Шаг 2: Подставляем значения в формулу: \[ P(X=3) = 20 \times (0,7)^3 \times (0,3)^3 \]

Шаг 3: Вычисляем степени: \[ (0,7)^3 = 0,7 \times 0,7 \times 0,7 = 0,343 \] \[ (0,3)^3 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,027 \]

Шаг 4: Подставляем: \[ P(X=3) = 20 \times 0,343 \times 0,027 \]

Шаг 5: Вычисляем произведение: \[ 0,343 \times 0,027 \approx 0,009261 \]

Шаг 6: Итог: \[ P(X=3) \approx 20 \times 0,009261 = 0,18522 \]

Ответ: Вероятность того, что за 6 выстрелов цель будет поражена ровно 3 раза, примерно равна 0,185, или 18,5%.