Решите методом подстановки систему уравнений x+5y = 15, 2x-y = 8. 2. Решите методом сложения систему уравнений 4x-7y = 1, 2x+7y = 11. 3. Решите графически систему уравнений x-y=3,…
Решите методом подстановки систему уравнений x+5y = 15, 2x-y = 8. 2. Решите методом сложения систему уравнений 4x-7y = 1, 2x+7y = 11. 3. Решите графически систему уравнений x-y=3, 3x-y=13. 4. Масса 2 слитков олова и 5 слитков свинца равна 33 кг. Какова масса слитка олова и какова масса слитка свинца, если масса 6 слитков оло ва на 19 кг больше массы слитка свинца? 5. Решите систему уравнений: 1) 5x-3y = 21, 3x+2y=5: 2) 2x-3y = 2, 18.x-12y=7. 6. При каком значении а система уравнений нечно много решений? 3x + ay = 4, 6x-2y=8 имеет беско-
Давайте подробно решим каждый из указанных вами вариантов. Начнем с первого.
1. Решите методом подстановки систему уравнений:
\[ \begin{cases} x + 5y = 15 \quad (1) \\ 2x - y = 8 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \(x\) из уравнения (1):
\[ x = 15 - 5y \]
Шаг 2: Подставим это выражение в уравнение (2):
\[ 2(15 - 5y) - y = 8 \]
Раскроем скобки:
\[ 30 - 10y - y = 8 \]
Объединим подобные:
\[ 30 - 11y = 8 \]
Шаг 3: Решим относительно \(y\):
\[ -11y = 8 - 30 \] \[ -11y = -22 \] \[ y = \frac{-22}{-11} = 2 \]
Шаг 4: Найдём \(x\):
\[ x = 15 - 5 \times 2 = 15 - 10 = 5 \]
Ответ: \(\boxed{x=5,\ y=2}\).
2. Решите методом сложения систему уравнений:
\[ \begin{cases} 4x - 7y = 1 \quad (1) \\ 2x + 7y = 11 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Ск sumaraisем уравнения (1) и (2), чтобы исключить \(y\):
\[ (4x - 7y) + (2x + 7y) = 1 + 11 \]
\[ (4x + 2x) + (-7y + 7y) = 12 \]
\[ 6x = 12 \]
\[ x = 2 \]
Шаг 2: Подставим \(x=2\) в уравнение (2):
\[ 2 \times 2 + 7y = 11 \] \[ 4 + 7y = 11 \] \[ 7y = 11 - 4 = 7 \] \[ y = 1 \]
Ответ: \(\boxed{x=2,\ y=1}\).
3. Решите графически систему уравнений:
\[ \begin{cases} x - y = 3 \quad (1) \\ 3x - y = 13 \quad (2) \end{cases} \]
Аналитически:
Из (1):
\[ x = y + 3 \]
Подставим в (2):
\[ 3(y + 3) - y = 13 \]
\[ 3y + 9 - y = 13 \]
\[ 2y + 9 = 13 \]
\[ 2y = 4 \]
\[ y = 2 \]
Тогда:
\[ x = 2 + 3 = 5 \]
Графически: точка пересечения — \((5, 2)\).
4. Масса слитков:
- Пусть масса одного слитка олова — \(x\) кг,
- масса одного слитка свинца — \(y\) кг.
Это условие:
- Масса 2 слитков олова и 5 слитков свинца равна 33 кг:
\[ 2x + 5y = 33 \quad (1) \]
- Масса 6 слитков олова на 19 кг больше массы 1 слитка свинца:
\[ 6x = y + 19 \]
или:
\[ 6x - y = 19 \quad (2) \]
Шаг 1: Выразим \(y\) из (2):
\[ y = 6x - 19 \]
Шаг 2: Подставим в (1):
\[ 2x + 5(6x - 19) = 33 \]
\[ 2x + 30x - 95 = 33 \]
\[ 32x - 95 = 33 \]
\[ 32x = 128 \]
\[ x = \frac{128}{32} = 4 \]
Шаг 3: Найдём \(y\):
\[ y = 6 \times 4 - 19 = 24 - 19 = 5 \]
Ответ: масса слитка олова — \(\boxed{4\,\text{кг}}\), слитка свинца — \(\boxed{5\,\text{кг}}\).
5. Решите системы уравнений:
Первое:
\[ \begin{cases} 5x - 3y = 21 \quad (1) \\ 3x + 2y = 5 \quad (2) \end{cases} \]
Используем метод подстановки или сложения.
Шаг 1: Упростим систему.
Множим (1) на 2, а (2) — на 3, чтобы иметь одинаковые коэффициенты при \(y\):
\[ (1) \times 2: 10x - 6y = 42 \] \[ (2) \times 3: 9x + 6y = 15 \]
Сложим полученные уравнения:
\[ (10x + 9x) + (-6y + 6y) = 42 + 15 \]
\[ 19x = 57 \]
\[ x = 3 \]
Шаг 2: Найдём \(y\) из (2):
\[ 3 \times 3 + 2 y = 5 \]
\[ 9 + 2 y = 5 \]
\[ 2 y = 5 - 9 = -4 \]
\[ y = -2 \]
Ответ: \(\boxed{x=3,\ y=-2}\).
Второе:
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 2 \quad (1) \\ 18x - 12 y = 7 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Упростим (2), разделив на 6:
\[ \frac{18x - 12 y}{6} = \frac{7}{6} \]
\[ 3x - 2 y = \frac{7}{6} \]
Теперь есть две уравнения:
\[ \begin{cases} 2x - 3 y = 2 \quad (1) \\ 3x - 2 y = \frac{7}{6} \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 2: Умножим (1) на 2, чтобы уравнять коэффициенты при \(x\):
\[ 4x - 6 y = 4 \]
Шаг 3: Умножим (2) на 4:
\[ 12x - 8 y = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \]
Теперь есть:
\[ \begin{cases} 4x - 6 y = 4 \quad (A) \\ 12x - 8 y = \frac{14}{3} \quad (B) \end{cases} \]
Чтобы избавиться от \(x\), выразим из (A):
\[ 4x = 4 + 6 y \]
\[ x = 1 + \frac{3 y}{2} \]
Подставим в (B):
\[ 12 \left(1 + \frac{3 y}{2}\right) - 8 y = \frac{14}{3} \]
Раскроем скобки:
\[ 12 + 18 y - 8 y = \frac{14}{3} \]
\[ 12 + 10 y = \frac{14}{3} \]
Переносим 12:
\[ 10 y = \frac{14}{3} - 12 \]
Запишем 12 как \(\frac{36}{3}\):
\[ 10 y = \frac{14 - 36}{3} = \frac{-22}{3} \]
Тогда:
\[ y = \frac{-22/3}{10} = \frac{-22}{3 \times 10} = \frac{-22}{30} = -\frac{11}{15} \]
Найдем \(x\):
\[ x = 1 + \frac{3 \times (-11/15)}{2} = 1 - \frac{33/15}{2} = 1 - \frac{33}{15 \times 2} = 1 - \frac{33}{30} = 1 - \frac{11}{10} = \frac{10}{10} - \frac{11}{10} = -\frac{1}{10} \]
Ответ: \(\boxed{x = -\frac{1}{10},\ y= -\frac{11}{15}}\).
6. При каком значении \(a\) система:
\[ \begin{cases} 3x + a y = 4 \quad (1) \\ 6 x - 2 y = 8 \quad (2) \end{cases} \]
имеет бесконечно много решений?
Аналитика:
Бесконечно много решений происходит, если уравнения пропорциональны, то есть:
\[ \frac{6}{3} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{-2}{a} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{8}{4} = 2 \]
Проверим:
- Коэффициенты при \(x\): \(\frac{6}{3} = 2\),
- Связь при \(y\): \(\frac{-2}{a}\),
- Связь свободных членов: \(\frac{8}{4} = 2\).
Для бесконечного числа решений должно быть:
\[ \frac{6}{3} = \frac{-2}{a} = \frac{8}{4} = 2 \]
Из этого:
\[ \frac{-2}{a} = 2 \Rightarrow -2 = 2a \Rightarrow a = -1 \]
Проверка: при \(a = -1\):
\[ 3x - y = 4 \] \[ 6x - 2 y = 8 \]
Тогда уравнения:
\[ 6x - 2 y = 8 \] \[ \text{или} \quad 3x - y = 4 \]
Это то же уравнение. Значит, системы совпадают — бесконечное множество решений.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений при \(a = -1\).
Если нужны дополнительные объяснения или решения — обращайтесь!
