В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 дм, плоский угол при вершине равен 60°, найдите высоту пирамиды

Давайте подробно разберём задачу шаг за шагом. **Задача:** В правильной треугольной пирамиде со стороной основания равной 8 дм, плоский угол при вершине равен 60°. Нужно найти высоту пирамиды. --- ### Шаг 1. Что такое правильная треугольная пирамида? - Основание — правильный треугольник со стороной 8 дм. - Всё вершины основания соединены с вершиной пирамиды. --- ### Шаг 2. Что означает "плоский угол при вершине"? - Плоский угол при вершине — это угол между гранями (боковыми треугольниками), которые выходят из вершины. - В данном случае этот угол равен 60°. --- ### Шаг 3. Построение схемы и обозначения Обозначим: - \( S \) — вершина пирамиды. - \( ABC \) — основание, правильный треугольник, \( AB = BC = CA = 8 \). - Высота \( SH \), где \( H \) — опущенная на основание перпендикуляр из \( S \). Нам нужно найти высоту \( SH \). --- ### Шаг 4. Найдём сторону основания и центр основания - Обычно для таких задач ищут точку \( O \), центр треугольника \( ABC \). - В правильном треугольнике: - Радиус описанной окружности (описанного круга): \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( a = 8 \). Тогда: \[ R = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx \frac{8\sqrt{3}}{3} \] - Центр \( O \) — точка пересечения медиан, медиана равна: \[ OM = \frac{\sqrt{3}}{3} \times a = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] --- ### Шаг 5. Связь угла при вершине с высотой пирамиды - В пирамиде, угол между гранью и высотой (или между двумя боковыми гранями) зависит от наклона боковых граней. - Угол при вершине — это угол между двумя гранями, исходящими из вершины \( S \). - В правильной треугольной пирамиде все боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники. --- ### Шаг 6. Анализ угла при вершине и наклона сторон Пусть: - \( \theta = 60^\circ \) — плоский угол при вершине. - Грани 'наклонены' относительно высоты. Рассмотрим два боковых треугольника, образованные линиями \( S H \), \( S A \), \( S C \): - В этих треугольниках угол между гранями — 60°, это означает, что угол между линиями, соединяющими вершину \( S \) с центром основания \( O \), равен 30° или 60°, в зависимости от определения. Но более понятно — рассматривать боковые грани как наклонённые к основанию. --- ### Шаг 7. Используем геометрию: отношение между высотой и наклонными линиями Рассмотрим треугольник \( S O H \): - В нем \( O \) — центр основания. - \( S H \) — высота пирамиды, перпендикуляр из вершины \( S \) на основание. - \( S O \) — линия, соединяющая вершину с центром основания. - Угол между боковой гранью и основанием равен \( 60^\circ \). Обозначим: - \( h = SH \), высота пирамиды. - \( d = SO \), расстояние от вершины \( S \) до центра основания. --- ### Шаг 8. Используем тригонометрию для определения \( h \) Из условий: - Угол между боковой гранью и основанием равен 60°. Тогда угол между линией \( S O \) и вот этой гранью равен 30° (так как грани формируют угол 60°, и в треугольнике \( S O H \), при правильной симметрии, эти углы связаны). --- ### Шаг 9. Связь расстояний и углов В треугольнике \( S O H \): \[ \cos 30^\circ = \frac{d}{\sqrt{h^2 + d^2}} \] где: - \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Обозначим: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{d}{\sqrt{h^2 + d^2}} \] Это выражение позволяет найти \( h \), если известно \( d \). --- ### Шаг 10. Величина \( d \) - Расстояние \( d = SO \) — это радиус описанной окружности треугольника, равный \( R = \frac{8}{\sqrt{3}} \). Подставляем: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{\sqrt{h^2 + \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2}} \] --- ### Шаг 11. Решение уравнения Упростим правую часть: \[ \sqrt{h^2 + \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{64}{3}} \] Теперь подставим: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{\sqrt{h^2 + \frac{64}{3}}} \] Перемножим обе части на denominators: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{h^2 + \frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \] Умножим обе части на \( 2 \): \[ \sqrt{3} \times \sqrt{h^2 + \frac{64}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \] Домножим обе части на \( \sqrt{3} \): \[ \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{h^2 + \frac{64}{3}} = 16 \] Так как \( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \): \[ 3 \times \sqrt{h^2 + \frac{64}{3}} = 16 \] Делим обе части на 3: \[ \sqrt{h^2 + \frac{64}{3}} = \frac{16}{3} \] --- ### Шаг 12. Нахождение \( h \) Возводим обе части в квадрат: \[ h^2 + \frac{64}{3} = \left(\frac{16}{3}\right)^2 = \frac{256}{9} \] Переносим по формуле: \[ h^2 = \frac{256}{9} - \frac{64}{3} \] Приведём к общему знаменателю (9): \[ h^2 = \frac{256}{9} - \frac{64 \times 3}{9} = \frac{256}{9} - \frac{192}{9} = \frac{64}{9} \] Следовательно: \[ h = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{9}} = \frac{8}{3} \] --- ### **Ответ:** **Высота пирамиды равна \(\boxed{\frac{8}{3} \text{ дм}}\) или примерно 2,67 дм.** Если есть вопросы или нужно объяснение более подробно по какому-то пункту — скажите!