B цилиндре радиуса осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 16 л дм2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Рассмотрим задачу подробнее и шаг за шагом: **Дано:** - Радиус основания цилиндра \( r \) - Осевым сечением является квадрат - Площадь основания равна 16 дм² **Найти:** площадь полной поверхности цилиндра. --- ### Шаг 1. Определение радиуса основания \( r \) Площадь основания цилиндра — это площадь круга: \[ S_осн = \pi r^2 \] По условию: \[ \pi r^2 = 16 \] Отсюда: \[ r^2 = \frac{16}{\pi} \] Следовательно, \[ r = \sqrt{\frac{16}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \] --- ### Шаг 2. Связь между радиусом, высотой и осевым сечением - Осевое сечение — это поперечное сечение цилиндра, которое получается при разрезе цилиндра через его ось, то есть плоскостью, перпендикулярной основаниям. - В условии сказано, что осевым сечением является **квадрат**. Это важно. --- ### Шаг 3. Определение высоты \( h \) Осевое сечение — это квадрат, у которого одна сторона равна высоте цилиндра \( h \), а другая — длине окружности основания, то есть длине периметра. - Периметр основания: \[ P = 2 \pi r \] - Так как осевым сечением является квадрат, то стороны квадрата равны. Обозначим длину стороны квадрата за \( a \). Тогда: \[ a = h \] и также сторона квадрата равна длине окружности основания: \[ a = 2 \pi r \] Потому что осевое сечение — это квадрат с одной стороной в виде высоты, а другая сторона — в виде окружности основания, которая объединяет всю окружность. Но поскольку это квадрат, стороны равны: \[ h = 2 \pi r \] --- ### Шаг 4. Вычисление высоты \( h \) Подставим \( r \): \[ h = 2 \pi r = 2 \pi \times \frac{4}{\sqrt{\pi}} = 2 \times 4 \times \frac{\pi}{\sqrt{\pi}} = 8 \times \frac{\pi}{\sqrt{\pi}} \] Заметим, что: \[ \frac{\pi}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\pi} \] Поскольку: \[ \frac{\pi}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\pi} \] поэтому: \[ h = 8 \sqrt{\pi} \] --- ### Шаг 5. Площадь полной поверхности цилиндра Площадь полной поверхности — это сумма площади двух оснований и боковой поверхности: \[ S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \] Где: - \( S_{осн} = 16 \) дм² (по условию), - боковая поверхность: \[ S_{бок} = P_{осн} \times h = 2 \pi r \times h \] Подставим найденные значения: \[ S_{бок} = 2 \pi r \times h \] Подставим \( r \) и \( h \): \[ r = \frac{4}{\sqrt{\pi}}, \quad h = 8 \sqrt{\pi} \] Тогда: \[ S_{бок} = 2 \pi \times \frac{4}{\sqrt{\pi}} \times 8 \sqrt{\pi} \] Упростим: \[ S_{бок} = 2 \pi \times \frac{4}{\sqrt{\pi}} \times 8 \sqrt{\pi} \] Обратите внимание: \[ 2 \pi \times \frac{4}{\sqrt{\pi}} = 8 \pi \times \frac{1}{\sqrt{\pi}} = 8 \sqrt{\pi} \] Поскольку: \[ \pi \times \frac{1}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\pi} \] Значит: \[ S_{бок} = 8 \sqrt{\pi} \times 8 \sqrt{\pi} = 8 \times 8 \times (\sqrt{\pi} \times \sqrt{\pi}) = 64 \times \pi \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ S_{полн} = 2 \times 16 + 64 \pi = 32 + 64 \pi } \] Площадь полной поверхности цилиндра равна \( \boxed{32 + 64\pi} \) кв. дм. --- Если нужно, я могу помочь вам с более подробными объяснениями или проверками!