B цилиндре радиуса осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 16 л дм2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Рассмотрим задачу подробнее и шаг за шагом:
Дано:
- Радиус основания цилиндра \( r \)
- Осевым сечением является квадрат
- Площадь основания равна 16 дм²
Найти: площадь полной поверхности цилиндра.
Шаг 1. Определение радиуса основания \( r \)
Площадь основания цилиндра — это площадь круга:
\[ S_осн = \pi r^2 \]
По условию:
\[ \pi r^2 = 16 \]
Отсюда:
\[ r^2 = \frac{16}{\pi} \]
Следовательно,
\[ r = \sqrt{\frac{16}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \]
Шаг 2. Связь между радиусом, высотой и осевым сечением
Осевое сечение — это поперечное сечение цилиндра, которое получается при разрезе цилиндра через его ось, то есть плоскостью, перпендикулярной основаниям.
В условии сказано, что осевым сечением является квадрат. Это важно.
Шаг 3. Определение высоты \( h \)
Осевое сечение — это квадрат, у которого одна сторона равна высоте цилиндра \( h \), а другая — длине окружности основания, то есть длине периметра.
- Периметр основания:
\[ P = 2 \pi r \]
- Так как осевым сечением является квадрат, то стороны квадрата равны.
Обозначим длину стороны квадрата за \( a \). Тогда:
\[ a = h \]
и также сторона квадрата равна длине окружности основания:
\[ a = 2 \pi r \]
Потому что осевое сечение — это квадрат с одной стороной в виде высоты, а другая сторона — в виде окружности основания, которая объединяет всю окружность.
Но поскольку это квадрат, стороны равны:
\[ h = 2 \pi r \]
Шаг 4. Вычисление высоты \( h \)
Подставим \( r \):
\[ h = 2 \pi r = 2 \pi \times \frac{4}{\sqrt{\pi}} = 2 \times 4 \times \frac{\pi}{\sqrt{\pi}} = 8 \times \frac{\pi}{\sqrt{\pi}} \]
Заметим, что:
\[ \frac{\pi}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\pi} \]
Поскольку:
\[ \frac{\pi}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\pi} \]
поэтому:
\[ h = 8 \sqrt{\pi} \]
Шаг 5. Площадь полной поверхности цилиндра
Площадь полной поверхности — это сумма площади двух оснований и боковой поверхности:
\[ S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \]
Где:
- \( S_{осн} = 16 \) дм² (по условию),
- боковая поверхность:
\[ S_{бок} = P_{осн} \times h = 2 \pi r \times h \]
Подставим найденные значения:
\[ S_{бок} = 2 \pi r \times h \]
Подставим \( r \) и \( h \):
\[ r = \frac{4}{\sqrt{\pi}}, \quad h = 8 \sqrt{\pi} \]
Тогда:
\[ S_{бок} = 2 \pi \times \frac{4}{\sqrt{\pi}} \times 8 \sqrt{\pi} \]
Упростим:
\[ S_{бок} = 2 \pi \times \frac{4}{\sqrt{\pi}} \times 8 \sqrt{\pi} \]
Обратите внимание:
\[ 2 \pi \times \frac{4}{\sqrt{\pi}} = 8 \pi \times \frac{1}{\sqrt{\pi}} = 8 \sqrt{\pi} \]
Поскольку:
\[ \pi \times \frac{1}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\pi} \]
Значит:
\[ S_{бок} = 8 \sqrt{\pi} \times 8 \sqrt{\pi} = 8 \times 8 \times (\sqrt{\pi} \times \sqrt{\pi}) = 64 \times \pi \]
Ответ:
\[ \boxed{ S_{полн} = 2 \times 16 + 64 \pi = 32 + 64 \pi } \]
Площадь полной поверхности цилиндра равна \( \boxed{32 + 64\pi} \) кв. дм.
Если нужно, я могу помочь вам с более подробными объяснениями или проверками!
