Основания равнобедренной трапеции равны 9 см и 1 см. Вычисли радиус окружности, вписанной в трапецию.

Для решения задачи сначала разберемся с понятием вписанной окружности в трапецию и что означает "основания равнобедренной трапеции". **Дано:** - Основания трапеции: \(AB = 9\) см и \(CD = 1\) см - Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны. - Не задана высота или длины боковых сторон, однако для вписанной окружности в трапецию существует условие. --- ### Теоретическая база **Когда у трапеции существует вписанная окружность?** Трапеция может иметь вписанную окружность тогда и только тогда, когда сумма длин её боковых сторон равна сумме оснований. То есть, если обозначить: - боковые стороны: \(AD\) и \(BC\) - основания: \(AB\) и \(CD\) то условие для вписания окружности: \[ AD + BC = AB + CD \] Но поскольку трапеция равнобедренная, и стороны \(AD\) и \(BC\) равны: \[ AD = BC \] Следовательно: \[ 2 \cdot AD = AB + CD \] \[ AD = \frac{AB + CD}{2} \] Подставляем значения: \[ AD = \frac{9 + 1}{2} = 5 \text{ см} \] --- ### Обозначения и построение решения Обозначим: - Основания: \(AB = 9\,\text{см}\), \(CD=1\,\text{см}\), - Боковые стороны: \(AD = BC = 5\,\text{см}\), - Высота трапеции: \(h\), - Центр вписанной окружности: \(O\), - Радиус вписанной окружности: \(r\). --- ### Шаг 1. Определим высоту трапеции \(h\). Рассмотрим трапецию на координатной плоскости для удобства: - Пусть \(A = (0,0)\), - \(B = (9,0)\), - \(D = (x_D, h)\), - \(C = (x_C, h)\). Так как трапеция равнобедренная, \(AD = BC\), а верхнее основание \(DC\) равно 1 см. Параметры: - \(D = (x_D, h)\), - \(C = (x_D + 1, h)\), - \(AB\) горизонтально ниже: \(A = (0,0)\), \(B = (9,0)\). Кладем \(A = (0,0)\), \(B = (9,0)\). Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \[ AD = \sqrt{(x_D - 0)^2 + h^2} = 5 \] \[ BC = \sqrt{(x_D + 1 - 9)^2 + h^2} = 5 \] Рассчитаем \(x_D\) из второго уравнения: \[ |x_D + 1 - 9| = |x_D - 8| \] Так как расстояние по горизонтали: \[ |x_D - 8| = 5 \quad \Rightarrow \quad x_D - 8 = \pm 5 \] Рассмотрим оба варианта: - \(x_D - 8 = 5 \Rightarrow x_D = 13\), - \(x_D - 8 = -5 \Rightarrow x_D = 3\). Проверим каждый вариант. --- ### Шаг 2. Определение \(x_D\), вычисление высоты \(h\). **Вариант 1:** \(x_D = 13\) \[ AD: \quad \sqrt{(13 - 0)^2 + h^2} = 5 \] \[ \Rightarrow 169 + h^2 = 25 \] \[ \Rightarrow h^2 = 25 - 169 = -144 \] Отрицательное подкоренное число — невозможно. Значит, этот вариант исключается. **Вариант 2:** \(x_D = 3\) \[ AD: \quad \sqrt{(3 - 0)^2 + h^2} = 5 \] \[ \Rightarrow 9 + h^2 = 25 \] \[ \Rightarrow h^2 = 16 \] \[ \Rightarrow h=4 \] Это допустимо. Тогда: - \(D = (3, 4)\), - \(C = (4, 4)\). --- ### Шаг 3. Найдем центр вписанной окружности. Вписанная окружность касается всех сторон; её центр —ничья точка — это точка пересечения биссектрис, построенных к углам трапеции. В трапеции, симметричной относительно вертикальной оси, центр окружности находится на оси симметрии. Для равнобедренной трапеции радиус вписанной окружности равен: \[ r = \frac{S}{p} \] где: - \(S\) — площадь трапеции, - \(p\) — полупериметр. --- ### Шаг 4: Вычисляем площадь \(S\). Площадь трапеции: \[ S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h \] \[ S = \frac{9 + 1}{2} \times 4 = 5 \times 4 = 20\, \text{см}^2 \] --- ### Шаг 5: Вычисляем полупериметр \(p\). Обозначим стороны трапеции: - \(AB = 9\) см, - \(DC =1\) см, - \(AD = BC = 5\) см. Полупериметр: \[ p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} = \frac{9 + 5 + 1 + 5}{2} = \frac{20}{2} = 10\, \text{см} \] --- ### Шаг 6: Рассчитываем радиус \(r\). Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{20}{10} = 2\, \text{см} \] --- ## Итог: **Радиус вписанной окружности равен 2 см.** Если нужны дополнительные разъяснения или шаги, — спрашивайте!