Основания равнобедренной трапеции равны 9 см и 1 см. Вычисли радиус окружности, вписанной в трапецию.
Для решения задачи сначала разберемся с понятием вписанной окружности в трапецию и что означает "основания равнобедренной трапеции".
Дано:
- Основания трапеции: \(AB = 9\) см и \(CD = 1\) см
- Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны.
- Не задана высота или длины боковых сторон, однако для вписанной окружности в трапецию существует условие.
Теоретическая база
Когда у трапеции существует вписанная окружность?
Трапеция может иметь вписанную окружность тогда и только тогда, когда сумма длин её боковых сторон равна сумме оснований.
То есть, если обозначить:
- боковые стороны: \(AD\) и \(BC\)
- основания: \(AB\) и \(CD\)
то условие для вписания окружности:
\[ AD + BC = AB + CD \]
Но поскольку трапеция равнобедренная, и стороны \(AD\) и \(BC\) равны:
\[ AD = BC \]
Следовательно:
\[ 2 \cdot AD = AB + CD \]
\[ AD = \frac{AB + CD}{2} \]
Подставляем значения:
\[ AD = \frac{9 + 1}{2} = 5 \text{ см} \]
Обозначения и построение решения
Обозначим:
- Основания: \(AB = 9\,\text{см}\), \(CD=1\,\text{см}\),
- Боковые стороны: \(AD = BC = 5\,\text{см}\),
- Высота трапеции: \(h\),
- Центр вписанной окружности: \(O\),
- Радиус вписанной окружности: \(r\).
Шаг 1. Определим высоту трапеции \(h\).
Рассмотрим трапецию на координатной плоскости для удобства:
- Пусть \(A = (0,0)\),
- \(B = (9,0)\),
- \(D = (x_D, h)\),
- \(C = (x_C, h)\).
Так как трапеция равнобедренная, \(AD = BC\), а верхнее основание \(DC\) равно 1 см.
Параметры:
- \(D = (x_D, h)\),
- \(C = (x_D + 1, h)\),
- \(AB\) горизонтально ниже: \(A = (0,0)\), \(B = (9,0)\).
Кладем \(A = (0,0)\), \(B = (9,0)\).
Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:
\[ AD = \sqrt{(x_D - 0)^2 + h^2} = 5 \] \[ BC = \sqrt{(x_D + 1 - 9)^2 + h^2} = 5 \]
Рассчитаем \(x_D\) из второго уравнения:
\[ |x_D + 1 - 9| = |x_D - 8| \]
Так как расстояние по горизонтали:
\[ |x_D - 8| = 5 \quad \Rightarrow \quad x_D - 8 = \pm 5 \]
Рассмотрим оба варианта:
- \(x_D - 8 = 5 \Rightarrow x_D = 13\),
- \(x_D - 8 = -5 \Rightarrow x_D = 3\).
Проверим каждый вариант.
Шаг 2. Определение \(x_D\), вычисление высоты \(h\).
Вариант 1: \(x_D = 13\)
\[ AD: \quad \sqrt{(13 - 0)^2 + h^2} = 5 \] \[ \Rightarrow 169 + h^2 = 25 \] \[ \Rightarrow h^2 = 25 - 169 = -144 \]
Отрицательное подкоренное число — невозможно. Значит, этот вариант исключается.
Вариант 2: \(x_D = 3\)
\[ AD: \quad \sqrt{(3 - 0)^2 + h^2} = 5 \] \[ \Rightarrow 9 + h^2 = 25 \] \[ \Rightarrow h^2 = 16 \] \[ \Rightarrow h=4 \]
Это допустимо. Тогда:
- \(D = (3, 4)\),
- \(C = (4, 4)\).
Шаг 3. Найдем центр вписанной окружности.
Вписанная окружность касается всех сторон; её центр —ничья точка — это точка пересечения биссектрис, построенных к углам трапеции.
В трапеции, симметричной относительно вертикальной оси, центр окружности находится на оси симметрии.
Для равнобедренной трапеции радиус вписанной окружности равен:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где:
- \(S\) — площадь трапеции,
- \(p\) — полупериметр.
Шаг 4: Вычисляем площадь \(S\).
Площадь трапеции:
\[ S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h \] \[ S = \frac{9 + 1}{2} \times 4 = 5 \times 4 = 20\, \text{см}^2 \]
Шаг 5: Вычисляем полупериметр \(p\).
Обозначим стороны трапеции:
- \(AB = 9\) см,
- \(DC =1\) см,
- \(AD = BC = 5\) см.
Полупериметр:
\[ p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} = \frac{9 + 5 + 1 + 5}{2} = \frac{20}{2} = 10\, \text{см} \]
Шаг 6: Рассчитываем радиус \(r\).
Радиус вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{20}{10} = 2\, \text{см} \]
Итог:
Радиус вписанной окружности равен 2 см.
Если нужны дополнительные разъяснения или шаги, — спрашивайте!
