Давайте поэтапно решим задачу.
Дано:
- Вписанный треугольник ABC
- Угол C = 90°
- Угол A = 60°
- Сторона AC = 16 см
- Нужно найти радиус окружности (описанной вокруг треугольника)
Шаг 1: Найти угол B
В треугольнике сумма углов равна 180°.
Известны углы A и C:
[ A = 60^\circ ]
[ C = 90^\circ ]
Тогда угол B:
[ B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ ]
Шаг 2: Определить стороны треугольника
Дано, что сторона AC = 16 см.
Из тригонометрии для треугольника ABC (с учетом углов):
- Углы: A=60°, B=30°, C=90°
- Сторона напротив угла:
- Угла A — сторона BC
- Угла B — сторона AC = 16 см
- Угла C — сторона AB, которую нужно найти
Поскольку известно, что AC — сторона, прилежащая к углу B=30°, то приглашается использовать тригонометрические соотношения.
Шаг 3: Связь сторон со сторонами и углами
Для треугольника, где один угол прямой (C=90°), и известна сторона AC, можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями.
В частности, в прямоугольнике:
- Катет, прилежащий к углу A: ( AC = 16 ) см
- Катет, прилежащий к углу B: ( BC ) (найти)
- Гипотенуза ( AB )
Поскольку ( \angle C = 90^\circ ), гипотенуза — сторона AB.
Шаг 4: Находим стороны по синусам
Используем теорему синусов:
[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} ]
Значения:
[ \sin C = \sin 90^\circ = 1 ]
[ \sin B = \sin 30^\circ = 0.5 ]
Подставляем:
[ \frac{AB}{1} = \frac{16}{0.5} = 32 ]
Следовательно, гипотенуза AB:
[ AB = 32 \text{ см} ]
Шаг 5: Находим сторону BC
Теперь найдём сторону BC, которая лежит напротив угла A.
Используем теорему синусов:
[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} ]
Значения:
[ \sin A = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 ]
[ \sin C = 1 ]
Подставляем:
[ \frac{BC}{0.866} = \frac{32}{1} = 32 ]
Значит:
[ BC = 32 \times 0.866 \approx 27.712 ]
Шаг 6: Найти радиус описанной окружности (R)
Для прямоугольного треугольника существует формула для радиуса окружности, описанной вокруг него:
[
R = \frac{\text{гипотенуза}}{2}
]
так как треугольник прямой, и гипотенуза — это diameter окружности, вписанной вокруг него.
Тогда:
[
R = \frac{AB}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}
]
Итоговый ответ:
Радиус окружности: 16.0 см
