Построй график y=x³+3x²-4

Конечно! Вот пошаговое объяснение, как построить график функции \( y = x^3 + 3x^2 - 4 \). --- ### Шаг 1. Анализ функции Это кубическая функция, которая может иметь изгибы и точки изгиба. Для построения графика важно найти: - Значения функции при разных \(x\), - Точки экстремума (минимумы и максимумы), - Точки пересечения с осями (например, с осью \(x\) и с осью \(y\)), - Приблизительный вид графика. --- ### Шаг 2. Находим точку пересечения с осью \(y\) Для этого подставим \(x = 0\): \[ y = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 4 = -4 \] **Итак, точка пересечения с осью \(y\):** \((0, -4)\). --- ### Шаг 3. Находим корни уравнения \(x^3 + 3x^2 - 4 = 0\) (то есть точки пересечения с осью \(x\)) Попробуем найти рациональные корни через теорему Виета или простыми подставками. Проверим делимость на 1, -1, 2, -2, 4, -4. - **Для \(x=1\):** \[ 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 \] Значит, \(x=1\) — корень. Тогда уравнение делится на \((x - 1)\). --- ### Шаг 4. Делим полином на \((x - 1)\) Используем деление в столбик или схему Горнера: \[ x^3 + 3x^2 - 4 \div (x - 1) \] - Первую часть \(x^3 \div x = x^2\): умножаем: \[ (x - 1) \times x^2 = x^3 - x^2 \] вычитаем: \[ (x^3 + 3x^2) - (x^3 - x^2) = 4x^2 \] опускаем оставшееся: - следующая часть \(4x^2 \div x = 4x\): умножаем: \[ (x - 1) \times 4x = 4x^2 - 4x \] вычитаем: \[ 4x^2 - (-4x) = 4x^2 + 4x \] - остальная часть: вычитаем: \[ (4x^2 + 0) - (4x^2 + 4x) = -4x \] - делим \(-4x \div x = -4\): умножаем: \[ (x - 1) \times (-4) = -4x + 4 \] вычитаем: \[ -4x - (-4x + 4) = -4 \] остаток: \(-4\). Значит, деление даёт многочлен: \[ x^2 + 4x - 4 \] --- ### Шаг 5. Решим квадратное уравнение \(x^2 + 4x - 4 = 0\) Используем формулу discriminant: \[ D = (4)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 16 + 16 = 32 \] \[ x_{2,3} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4 \sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2 \sqrt{2} \] **Итак, корни:** \[ x = 1, \quad x = -2 + 2\sqrt{2}, \quad x = -2 - 2\sqrt{2} \] --- ### Шаг 6. Вычисляем значения \(y\) в корнях - В уже найденной точке \(x=1\): \[ y = 0 \] - В точках \(-2 \pm 2 \sqrt{2}\): Подставляем в исходное выражение (или сразу в уравнение). Проще подставить в исходное, например, для \(-2 + 2 \sqrt{2}\): Обозначим \(x_2 = -2 + 2\sqrt{2}\), тогда: \[ y = (x_2)^3 + 3 (x_2)^2 - 4 \] или же, проще, воспользоваться ранее выведенным делением и подтвердить, что они нули. --- ### Шаг 7. Определим экстремумы функции (множество экстремумов) Чтобы найти экстремумы, нужно взять производную \(y\): \[ y' = 3x^2 + 6x \] равный нулю: \[ 3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 3x(x+2) = 0 \] отсюда: \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=-2 \] - при \(x=0\), \(y=-4\) (уже найдено), - при \(x=-2\): \подставляем в функцию: \[ y = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 3 \times 4 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 \] **Критические точки:** - \((0, -4)\), - \((-2, 0)\). Теперь проверим, являются ли они максимумами или минимумами, воспользуемся второй производной: \[ y'' = 6x + 6 \] - при \(x=0\): \[ 6 \times 0 + 6 = 6 > 0 \] *Точка \((0, -4)\)* — минимум. - при \(x=-2\): \[ 6 \times (-2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 \] *Точка \((-2, 0)\)* — максимум. --- ### Шаг 8. Итоговая картинка для построения графика - Точки пересечения с осями: \((0, -4)\), \(\left(-2 + 2\sqrt{2}, 0\right)\), \(\left(-2 - 2\sqrt{2}, 0\right)\). - Модели экстремумов: минимум в \((0, -4)\), максимум в \((-2, 0)\). --- ### Шаг 9. Построение графика: 1. Отметьте на координатной плоскости полученные точки. 2. Проведите плавную кривую, проходящую через эти точки, учитывая, что в точке \((-2, 0)\) локальный максимум, а в \((0, -4)\) — локальный минимум. 3. Учитывайте, что кубическая функция уходит в \(\pm \infty\) при \(x \to \pm \infty\). --- Если понадобится, я могу создать набросок или помочь с более точными графическими средствами.