Решите уравнение 4^x-10*2^(x-1)=24

Давайте решим уравнение: \[ 4^x - 10 \cd * 2^{x-1} = 24 \] **Шаг 1: Упростим выражение** Заметим, что \( 4^x \) можно выразить через степень двойки, так как: \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \] Также, \( 2^{x-1} \) можно оставить как есть или выразить через \( 2^x \): \[ 2^{x-1} = \frac{2^x}{2} \] Подставим эти выражения в изначальное уравнение: \[ 2^{2x} - 10 \cdot \frac{2^x}{2} = 24 \] **Шаг 2: Упростим выражение** Теперь упростим: \[ 2^{2x} - 5 \cdot 2^x = 24 \] Обратите внимание, что \( 2^{2x} = (2^x)^2 \). Пусть: \[ t = 2^x \] Тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 - 5t = 24 \] или \[ t^2 - 5t - 24 = 0 \] **Шаг 3: Решим квадратное уравнение для \( t \)** Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -24 \). Подставим: \[ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} \] \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} \] \[ t = \frac{5 \pm 11}{2} \] Получаем два решения: 1. \( t = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) 2. \( t = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) **Шаг 4: Возвращаемся к \( x \)** Recall, что \( t = 2^x \): - Для \( t = 8 \): \[ 2^x = 8 \] \[ 2^x = 2^3 \] Значит, \[ x = 3 \] - Для \( t = -3 \): \[ 2^x = -3 \] Это невозможно, поскольку экспонента \( 2^x \) всегда положительна, и не может быть равна отрицательному числу. **Ответ:** \[ \boxed{x = 3} \] Это единственное решение данного уравнения.