решите уравнение 4^x-10*2^(x-1)=24
Давайте решим уравнение:
\[ 4^x - 10 \cd * 2^{x-1} = 24 \]
Шаг 1: Упростим выражение
Заметим, что \( 4^x \) можно выразить через степень двойки, так как:
\[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \]
Также, \( 2^{x-1} \) можно оставить как есть или выразить через \( 2^x \):
\[ 2^{x-1} = \frac{2^x}{2} \]
Подставим эти выражения в изначальное уравнение:
\[ 2^{2x} - 10 \cdot \frac{2^x}{2} = 24 \]
Шаг 2: Упростим выражение
Теперь упростим:
\[ 2^{2x} - 5 \cdot 2^x = 24 \]
Обратите внимание, что \( 2^{2x} = (2^x)^2 \). Пусть:
\[ t = 2^x \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ t^2 - 5t = 24 \]
или
\[ t^2 - 5t - 24 = 0 \]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение для \( t \)
Используем формулу для решения квадратного уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -24 \).
Подставим:
\[ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} \]
\[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} \]
\[ t = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} \]
\[ t = \frac{5 \pm 11}{2} \]
Получаем два решения:
\( t = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
\( t = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
Шаг 4: Возвращаемся к \( x \)
Recall, что \( t = 2^x \):
- Для \( t = 8 \):
\[ 2^x = 8 \]
\[ 2^x = 2^3 \]
Значит,
\[ x = 3 \]
- Для \( t = -3 \):
\[ 2^x = -3 \]
Это невозможно, поскольку экспонента \( 2^x \) всегда положительна, и не может быть равна отрицательному числу.
Ответ:
\[ \boxed{x = 3} \]
Это единственное решение данного уравнения.
