Евгений Макарович был в отпуске 10 дней и каждый день ходил куда нибудь гулять. Три раза он ходил на смотровую площадку и 7 раз ходил на пляж (за день Евгений Макарович мог…
Евгений Макарович был в отпуске 10 дней и каждый день ходил куда нибудь гулять. Три раза он ходил на смотровую площадку и 7 раз ходил на пляж (за день Евгений Макарович мог сходить и на смотровую площадку, и на пляж, а мог никуда не ходить, но дважды в день в одно и то же место не ходил). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях вне зависимости от того, в какие дни Евгений Макарович ходил на пляж. 1) Не может оказаться, что Евгений Макарович 5 дней ходил и на смотровую вышку, и на пляж. 2) Был день, когда Евгений Макарович ходил и на смотровую площадку, и на пляж. 3) Было 4 дня, когда Евгений Макарович никуда не ходил. 4) Если Евгений Макарович сходил на смотровую площадку, то в этот же день он ходил и на пляж. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Рассмотрим условия задачи:
- Общее количество дней: 10.
- Количество посещений смотровой площадки: 3 (всего).
- Количество посещений пляжа: 7 (всего).
- За один день Евгений Макарович мог посещать оба места, или никуда, или только одно.
- Нельзя дважды одновременно посещать одно и то же место в один день, т.е. в один день он мог посетить:
- Нет никуда (0 посещений)
- Только смотровую площадку (1)
- Только пляж (1)
- И оба сразу (2)
Обозначим:
- \( n \) — число дней, когда он посетил и смотровую и пляж одновременно (имеются в виду дни, когда он посетил оба места, то есть два посещения в один день).
- \( x \) — число дней, когда он посещал только смотровую площадку.
- \( y \) — число дней, когда он посещал только пляж.
- \( z \) — число дней, когда он не посещал ничего.
Тогда у нас есть система уравнений:
Общее количество дней:
\[ x + y + z + n = 10 \]Общее число посещений смотровой площадки:
\[ x + n = 3 \]Общее число посещений пляжа:
\[ y + n = 7 \]Количество дней, когда он не ходил никуда:
\[ z \geq 0 \]
Из уравнений (2) и (3):
\[ x = 3 - n \] \[ y = 7 - n \]
Подставим в уравнение (1):
\[ (3 - n) + (7 - n) + z + n = 10 \] \[ 3 - n + 7 - n + z + n = 10 \] \[ (3 + 7) + (-n - n + n) + z = 10 \] \[ 10 - n + z = 10 \] \[ z = n \]
Из этого видно, что:
\[ z = n \]
Также учитываем, что все переменные неотрицательны:
\[ x = 3 - n \geq 0 \implies n \leq 3 \] \[ y = 7 - n \geq 0 \implies n \leq 7 \] \[ z = n \geq 0 \]
Наибольший допустимый \( n \) — это 3, поскольку он должен удовлетворять обоим неравенствам:
\[ n \leq 3 \]
Итак, возможные значения \( n \):
\[ n = 0, 1, 2, 3 \]
Рассмотрим каждый случай:
Когда \( n = 0 \):
\[ x = 3, \quad y = 7, \quad z=0 \]
Тогда он посещал только смотровую или только пляж, без одновременного посещения.
Когда \( n=1 \):
\[ x=2, \quad y=6, \quad z=1 \]
Когда \( n=2 \):
\[ x=1, \quad y=5, \quad z=2 \]
Когда \( n=3 \):
\[ x=0, \quad y=4, \quad z=3 \]
Теперь анализируем утверждения:
"Не может оказаться, что Евгений Макарович 5 дней ходил и на смотровую вышку, и на пляж."
В наших расчетах максимум — это \( n=3 \). Значит, 5 дней с одновременным посещением невозможны.
Это утверждение — верно."Был день, когда Евгений Макарович ходил и на смотровую площадку, и на пляж."
Варианты с \( n \geq 1 \) позволяют наличие хотя бы одного такого дня.
Итоговая вероятность — да, в случае \( n \geq 1 \), такой день есть.
Это утверждение — верно."Было 4 дня, когда Евгений Макарович никуда не ходил."
Для \( n=3 \), \( z=3 \); для остальных — \( z \) меньше или равно 2.
Нет варианта, где \( z=4 \).
Это утверждение — неверно."Если Евгений Макарович сходил на смотровую площадку, то в этот же день он ходил и на пляж."
В наших сценариях не обязательно — бывают дни, когда он посещал только одну из локаций. Вариант \( x=3, y=0, n=0 \) — есть такие дни, где посещение смотровой, без пляжа.
Это утверждение — неверно, поскольку встречаются дни, когда ходил только на смотровую.
Ответ: утверждения 1 и 2 — верны, 3 и 4 — неверны.
В ответ запишите номера верных утверждений без пробелов или других символов:
Ответ: 12
