Евгений Макарович был в отпуске 10 дней и каждый день ходил куда нибудь гулять. Три раза он ходил на смотровую площадку и 7 раз ходил на пляж (за день Евгений Макарович мог сходить и на смотровую площадку, и на пляж, а мог никуда не ходить, но дважды в день в одно и то же место не ходил). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях вне зависимости от того, в какие дни Евгений Макарович ходил на пляж. 1) Не может оказаться, что Евгений Макарович 5 дней ходил и на смотровую вышку, и на пляж. 2) Был день, когда Евгений Макарович ходил и на смотровую площадку, и на пляж. 3) Было 4 дня, когда Евгений Макарович никуда не ходил. 4) Если Евгений Макарович сходил на смотровую площадку, то в этот же день он ходил и на пляж. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Рассмотрим условия задачи: - Общее количество дней: 10. - Количество посещений смотровой площадки: 3 (всего). - Количество посещений пляжа: 7 (всего). - За один день Евгений Макарович мог посещать оба места, или никуда, или только одно. - Нельзя дважды одновременно посещать одно и то же место в один день, т.е. в один день он мог посетить: - Нет никуда (0 посещений) - Только смотровую площадку (1) - Только пляж (1) - И оба сразу (2) Обозначим: - \( n \) — число дней, когда он посетил и смотровую и пляж одновременно (имеются в виду дни, когда он посетил оба места, то есть два посещения в один день). - \( x \) — число дней, когда он посещал только смотровую площадку. - \( y \) — число дней, когда он посещал только пляж. - \( z \) — число дней, когда он не посещал ничего. Тогда у нас есть система уравнений: 1. Общее количество дней: \[ x + y + z + n = 10 \] 2. Общее число посещений смотровой площадки: \[ x + n = 3 \] 3. Общее число посещений пляжа: \[ y + n = 7 \] 4. Количество дней, когда он не ходил никуда: \[ z \geq 0 \] Из уравнений (2) и (3): \[ x = 3 - n \] \[ y = 7 - n \] Подставим в уравнение (1): \[ (3 - n) + (7 - n) + z + n = 10 \] \[ 3 - n + 7 - n + z + n = 10 \] \[ (3 + 7) + (-n - n + n) + z = 10 \] \[ 10 - n + z = 10 \] \[ z = n \] Из этого видно, что: \[ z = n \] Также учитываем, что все переменные неотрицательны: \[ x = 3 - n \geq 0 \implies n \leq 3 \] \[ y = 7 - n \geq 0 \implies n \leq 7 \] \[ z = n \geq 0 \] Наибольший допустимый \( n \) — это 3, поскольку он должен удовлетворять обоим неравенствам: \[ n \leq 3 \] Итак, возможные значения \( n \): \[ n = 0, 1, 2, 3 \] Рассмотрим каждый случай: - Когда \( n = 0 \): \[ x = 3, \quad y = 7, \quad z=0 \] Тогда он посещал только смотровую или только пляж, без одновременного посещения. - Когда \( n=1 \): \[ x=2, \quad y=6, \quad z=1 \] - Когда \( n=2 \): \[ x=1, \quad y=5, \quad z=2 \] - Когда \( n=3 \): \[ x=0, \quad y=4, \quad z=3 \] Теперь анализируем утверждения: 1. **"Не может оказаться, что Евгений Макарович 5 дней ходил и на смотровую вышку, и на пляж."** В наших расчетах максимум — это \( n=3 \). Значит, 5 дней с одновременным посещением невозможны. **Это утверждение — верно.** 2. **"Был день, когда Евгений Макарович ходил и на смотровую площадку, и на пляж."** Варианты с \( n \geq 1 \) позволяют наличие хотя бы одного такого дня. Итоговая вероятность — да, в случае \( n \geq 1 \), такой день есть. **Это утверждение — верно.** 3. **"Было 4 дня, когда Евгений Макарович никуда не ходил."** Для \( n=3 \), \( z=3 \); для остальных — \( z \) меньше или равно 2. Нет варианта, где \( z=4 \). **Это утверждение — неверно.** 4. **"Если Евгений Макарович сходил на смотровую площадку, то в этот же день он ходил и на пляж."** В наших сценариях не обязательно — бывают дни, когда он посещал только одну из локаций. Вариант \( x=3, y=0, n=0 \) — есть такие дни, где посещение смотровой, без пляжа. **Это утверждение — неверно, поскольку встречаются дни, когда ходил только на смотровую.** **Ответ**: утверждения 1 и 2 — верны, 3 и 4 — неверны. **В ответ запишите номера верных утверждений без пробелов или других символов:** **Ответ: 12**