(2a+3b)⁴

Давайте подробно разберем, как раскрыть выражение \((2a + 3b)^4\) с помощью бинома Ньютона, чтобы понять этот процесс.

Шаг 1: Используем формулу бинома Ньютона

Биномиальная формула для поднятия в степень \( n \) выглядит так:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} \]

В нашем случае:

• \(a = 2a\)
• \(b = 3b\)
• \(n = 4\)

Подставляем:

\[ (2a + 3b)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2a)^{4 - k} (3b)^{k} \]

Шаг 2: Находим биномиальные коэффициенты \(\binom{4}{k}\)

\[ \binom{4}{0} = 1 \] \[ \binom{4}{1} = 4 \] \[ \binom{4}{2} = 6 \] \[ \binom{4}{3} = 4 \] \[ \binom{4}{4} = 1 \]

Шаг 3: Расписываем сумму по каждому значению \(k\):

Для \(k=0\): \[ \binom{4}{0} (2a)^{4} (3b)^{0} = 1 \times (2a)^4 \times 1 \] \[ (2a)^4 = 2^4 a^4 = 16a^4 \] Итого: \(16a^4\)

Для \(k=1\): \[ \binom{4}{1} (2a)^3 (3b)^1 = 4 \times (2a)^3 \times 3b \] \[ (2a)^3 = 2^3 a^3 = 8a^3 \] \[ \Rightarrow 4 \times 8a^3 \times 3b = 4 \times 8 \times 3 \times a^3 b = 96 a^3 b \]

Для \(k=2\): \[ \binom{4}{2} (2a)^2 (3b)^2 = 6 \times (2a)^2 \times (3b)^2 \] \[ (2a)^2 = 2^2 a^2 = 4a^2 \] \[ (3b)^2 = 3^2 b^2 = 9b^2 \] \[ 6 \times 4a^2 \times 9b^2 = 6 \times 4 \times 9 \times a^2 b^2 = 216 a^2 b^2 \]

Для \(k=3\): \[ \binom{4}{3} (2a)^1 (3b)^3 = 4 \times 2a \times (3b)^3 \] \[ (3b)^3 = 3^3 b^3 = 27b^3 \] \[ 4 \times 2a \times 27b^3 = 4 \times 2 \times 27 a b^3 = 216 a b^3 \]

Для \(k=4\): \[ \binom{4}{4} (2a)^0 (3b)^4 = 1 \times 1 \times (3b)^4 \] \[ (3b)^4 = 3^4 b^4 = 81b^4 \]

Итоговое выражение:

\[ (2a + 3b)^4 = 16a^4 + 96 a^3 b + 216 a^2 b^2 + 216 a b^3 + 81 b^4 \]

Итог:

Ответ:

\[ \boxed{ (2a + 3b)^4 = 16a^4 + 96 a^3 b + 216 a^2 b^2 + 216 a b^3 + 81 b^4 } \]

Если что-то осталось непонятным или нужны дополнительные пояснения — спрашивайте!