найдите сумму всех двузначных натуральных чисел,которые при делении на 13 дают в остатке 7
Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Задача: Найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7.
Шаг 1: Определение условий
Двухзначные числа: числа от 10 до 99 включительно.
Деление на 13 с остатком 7: числа, которые при делении на 13 дают остаток 7, то есть числа вида:
\[ n = 13k + 7 \]
где \(k\) — целое число.
Шаг 2: Найти диапазон возможных \(k\)
Чтобы число \(n = 13k + 7\) было двузначным, нужно:
\[ 10 \leq 13k + 7 \leq 99 \]
Рассмотрим неравенства по отдельности:
- \(13k + 7 \geq 10\)
\[ 13k \geq 3 \implies k \geq \frac{3}{13} \approx 0.23 \]
Так как \(k\) — целое число, то:
\[ k \geq 1 \]
- \(13k + 7 \leq 99\)
\[ 13k \leq 92 \implies k \leq \frac{92}{13} \approx 7.07 \]
Так как \(k\) — целое число, то:
\[ k \leq 7 \]
Итог: \(k\) принимает значения от 1 до 7.
Шаг 3: Найти все числа
Подставим значения \(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\):
| \(k\) | число \(n = 13k + 7\) | Пример | Проверка |
|---|---|---|---|
| 1 | \(13 \times 1 + 7 = 20\) | 20 | двузначное, делится с остатком 7 |
| 2 | \(13 \times 2 + 7 = 33\) | 33 | двузначное |
| 3 | \(13 \times 3 + 7 = 46\) | 46 | двузначное |
| 4 | \(13 \times 4 + 7 = 59\) | 59 | двузначное |
| 5 | \(13 \times 5 + 7 = 72\) | 72 | двузначное |
| 6 | \(13 \times 6 + 7 = 85\) | 85 | двузначное |
| 7 | \(13 \times 7 + 7 = 98\) | 98 | двузначное |
Шаг 4: Найти сумму всех таких чисел
Сумма:
\[ 20 + 33 + 46 + 59 + 72 + 85 + 98 \]
Посчитаем поэлементно:
- \(20 + 33 = 53\)
- \(53 + 46 = 99\)
- \(99 + 59 = 158\)
- \(158 + 72 = 230\)
- \(230 + 85 = 315\)
- \(315 + 98 = 413\)
Ответ: сумма всех двузначных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7, равна 413.
Если нужно, я могу подготовить более короткое резюме или объяснить любой шаг подробнее!
