Вероятность попадания в мишень при одном выстреле из винтовки равна 0,3. Какова вероятность того, что при 500 выстрелах частота попаданий в мишень отклонится от вероятности р не более чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

Рассмотрим задачу подробно. Нам нужно найти вероятность того, что при 500 выстрелах из винтовки, при вероятности попадания p = 0,3 для каждого выстрела, частота попаданий отклонится от p не более чем на 0,04 по абсолютной величине. То есть, если обозначить число попаданий за X, то нас интересует вероятность: \[ P \left( | \frac{X}{n} - p | \leq 0,04 \right) \], где n = 500. **Шаг 1: Вспоминаем модель** Так как каждый выстрел — это независимое испытание с вероятностью успеха p = 0,3, то X — это случайная величина, распределённая по биномиальному закону: \[ X \sim \text{Bin}(n=500, p=0.3) \]. **Шаг 2: Обеспечим приближение нормальным распределением** При больших n (в нашем случае, n=500) биномиальное распределение можно аппроксимировать к нормальному по критерию центральной предели. Обозначим: - математическое ожидание: \(\mu = np = 500 \times 0,3 = 150 \) - дисперсия: \(\sigma^2 = np(1-p) = 500 \times 0,3 \times 0,7 = 105 \) - стандартное отклонение: \(\sigma = \sqrt{105} \approx 10,25\). **Шаг 3: преобразуем условие в вероятность для нормального** Нас просят найти: \[ P \left( | \frac{X}{n} - p | \leq 0,04 \right). \] Это равносильно: \[ P \left( p - 0,04 \leq \frac{X}{n} \leq p + 0,04 \right). \] Преобразуем неравенство: \[ p - 0,04 \leq \frac{X}{n} \leq p + 0,04. \] Домножим все на n: \[ n(p - 0,04) \leq X \leq n(p + 0,04). \] Подставим числовые значения: - нижняя граница: \(150 - 500 \times 0,04 = 150 - 20 = 130\); - верхняя граница: \(150 + 20 = 170\). Значит, вычисляем вероятность: \[ P(130 \leq X \leq 170). \] Используем переход к нормальному распределению: Заменим X на нормальную с \(\mu =150\), \(\sigma \approx 10,25\). При этом применим коррекцию Яритса (на 0,5) для более точной аппроксимации дискретного распределения: - нижняя граница: \(130 - 0,5 = 129,5\) - верхняя граница: \(170 + 0,5 = 170,5\). Теперь стандартируем границы: \[ z_1 = \frac{129,5 - 150}{10,25} \approx \frac{-20,5}{10,25} \approx -2,00, \] \[ z_2 = \frac{170,5 - 150}{10,25} \approx \frac{20,5}{10,25} \approx 2,00. \] **Шаг 4: Используем таблицу стандартного нормального распределения** Значения: \[ P(z \leq 2,00) \approx 0,9772, \] \[ P(z \leq -2,00) \approx 1 - 0,9772 = 0,0228. \] Поэтому вероятность: \[ P= P(-2,00 \leq Z \leq 2,00) = 0,9772 - 0,0228 = 0,9544. \] **Ответ:** вероятность того, что доля попаданий в мишень за 500 выстрелов отклонится от 0,3 не более чем на 0,04, примерно равна **0,954** или 95,44%. Если нужно — можно оставить более точное число или объяснить, как использовать таблицы вероятностей, но эти значения дают хорошее приближение.