Контрольная работа номер 12 по теме "производные и её применение" вариант 2. 1. Вычислите производные функций: а) f(х)=х⁵-2√х в) f(х)=еХ • sinx с) f(х)=(3-2х) ⁴ Точное решение

Рассмотрим каждую функцию по отдельности и найдем ее производную, приводя все к стандартному виду и применяя известные правила дифференцирования. --- ### Задача 1: \(f(x) = x^5 - 2\sqrt{x}\) **Шаг 1: Запишем функцию в более удобном виде** \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) Тогда: \[f(x) = x^5 - 2x^{1/2}\] **Шаг 2: Используем правило дифференцирования нестандартных функций** Производная суммы — это сумма производных: \[f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) - 2 \frac{d}{dx}(x^{1/2})\] **Шаг 3: Дифференцируем каждый член** - \(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{4}\) - \(\frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2}\) Следовательно, \[ f'(x) = 5x^{4} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 5x^{4} - x^{-1/2} \] или, переводя обратно в корень: \[ f'(x) = 5x^{4} - \frac{1}{\sqrt{x}} \] --- ### Задача 2: \(f(x) = e^{x} \cdot \sin x\) Здесь используется правило произведения (продуктовая производная): \[ (fg)' = f' g + f g' \] Где: - \(f(x) = e^{x}\), \(f'(x) = e^{x}\) - \(g(x) = \sin x\), \(g'(x) = \cos x\) **Шаг 1: Применяем правило** \[ f'(x) = e^{x} \cdot \sin x + e^{x} \cdot \cos x \] **Шаг 2: Можно вынести общие множители** \[ f'(x) = e^{x} (\sin x + \cos x) \] --- ### Задача 3: \(f(x) = (3 - 2x)^4\) Здесь применяется цепное правило. **Шаг 1: Внутреннюю функцию обозначим:** \(u = 3 - 2x\) тогда, \[ f(x) = u^4 \] **Шаг 2: Производная по \(u\):** \(\frac{d}{du} u^4 = 4u^3\) **Шаг 3: Производная \(u\) по \(x\):** \(\frac{d}{dx} (3 - 2x) = -2\) **Шаг 4: Итоговая производная — по цепочке:** \[ f'(x) = 4(3 - 2x)^3 \cdot (-2) = -8 (3 - 2x)^3 \] --- ## Итоговые ответы: a) \(\boxed{f'(x) = 5x^{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}\) в) \(\boxed{f'(x) = e^{x} (\sin x + \cos x)}\) с) \(\boxed{f'(x) = -8 (3 - 2x)^3}\) Если требуется дополнительное объяснение или помощь с теорией, скажите!