Контрольная работа номер 12 по теме "производные и её применение" вариант 2. 1. Вычислите производные функций: а) f(х)=х⁵-2√х в) f(х)=еХ • sinx с) f(х)=(3-2х) ⁴ Точное решение
Рассмотрим каждую функцию по отдельности и найдем ее производную, приводя все к стандартному виду и применяя известные правила дифференцирования.
Задача 1: \(f(x) = x^5 - 2\sqrt{x}\)
Шаг 1: Запишем функцию в более удобном виде
\(\sqrt{x} = x^{1/2}\)
Тогда:
\[f(x) = x^5 - 2x^{1/2}\]
Шаг 2: Используем правило дифференцирования нестандартных функций
Производная суммы — это сумма производных:
\[f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) - 2 \frac{d}{dx}(x^{1/2})\]
Шаг 3: Дифференцируем каждый член
\(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{4}\)
\(\frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Следовательно,
\[ f'(x) = 5x^{4} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 5x^{4} - x^{-1/2} \]
или, переводя обратно в корень:
\[ f'(x) = 5x^{4} - \frac{1}{\sqrt{x}} \]
Задача 2: \(f(x) = e^{x} \cdot \sin x\)
Здесь используется правило произведения (продуктовая производная):
\[ (fg)' = f' g + f g' \]
Где:
\(f(x) = e^{x}\), \(f'(x) = e^{x}\)
\(g(x) = \sin x\), \(g'(x) = \cos x\)
Шаг 1: Применяем правило
\[ f'(x) = e^{x} \cdot \sin x + e^{x} \cdot \cos x \]
Шаг 2: Можно вынести общие множители
\[ f'(x) = e^{x} (\sin x + \cos x) \]
Задача 3: \(f(x) = (3 - 2x)^4\)
Здесь применяется цепное правило.
Шаг 1: Внутреннюю функцию обозначим:
\(u = 3 - 2x\)
тогда,
\[ f(x) = u^4 \]
Шаг 2: Производная по \(u\):
\(\frac{d}{du} u^4 = 4u^3\)
Шаг 3: Производная \(u\) по \(x\):
\(\frac{d}{dx} (3 - 2x) = -2\)
Шаг 4: Итоговая производная — по цепочке:
\[ f'(x) = 4(3 - 2x)^3 \cdot (-2) = -8 (3 - 2x)^3 \]
Итоговые ответы:
a) \(\boxed{f'(x) = 5x^{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}\)
в) \(\boxed{f'(x) = e^{x} (\sin x + \cos x)}\)
с) \(\boxed{f'(x) = -8 (3 - 2x)^3}\)
Если требуется дополнительное объяснение или помощь с теорией, скажите!
