### **Задача 3.** **Дано:** Правильная треугольная усеченная пирамида. Сторона меньшего основания \(b = 2 \, \text{см}\). Боковое ребро \(l = \sqrt{2} \, \text{см}\). Угол между боковым ребром и стороной большего основания \(\alpha = 45^\circ\).

Давайте разберем задачу по частям и проведем подробное решение. --- ### Что дано: - Меньшее основание: сторона \(b = 2\, \text{см}\) - Боковое ребро: \(l = \sqrt{2}\, \text{см}\) - Угол между боковым ребром и стороной большего основания: \(\alpha = 45^\circ\) --- ### Что нужно найти: - Размеры и характеристики усеченной пирамиды (например, сторону большего основания, высоту, свойства боковых граней). Но в условии не указано явно, что именно требуется, поэтому предположим, что нужно определить сторону большого основания и, возможно, высоту. --- ### Шаг 1. Визуализация и обозначения Обозначим: - Малое основание: сторона \(b = 2\, \text{см}\) - Большое основание: сторона \(a\) (найти) - Высота пирамиды: \(h\) - Боковое ребро (от вершины до вершины большего основания): длина \(l = \sqrt{2}\) --- ### Шаг 2. Анализ заданных углов и элементов Угол \(\alpha = 45^\circ\) — это между боковым ребром и стороной большего основания. Это очень важный момент: - Боковое ребро наклонено к большему основанию так, что между ними образуется угол 45° - Обычно в таких задачах предполагается, что боковое ребро соединяет вершину усеченной пирамиды с вершиной большого основания, а угол \(\alpha\) — это угол между боковым ребром и стороной большого основания. --- ### Шаг 3. Связь между боковым ребром и основанием Рассмотрим боковое ребро как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где одна из сторон — проекция на основание, а другая — высота. Если обозначить: - Проекцию бокового ребра на площадь основания — это расстояние \(d\) - Высоту пирамиды — \(h\) Тогда, по определению, угол \(\alpha\) взаимодействует с этим расстоянием. --- ### Шаг 4. Использование тригонометрии Поскольку угол \(\alpha = 45^\circ\), и он образован между боковым ребром \(l\) и стороной большего основания, можно выразить: \[ \cos \alpha = \frac{\text{соседняя сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\text{часть основание}}{l} \] Рассмотрим подробнее. --- ### Шаг 5. Вспомогательные построения Обозначим: - Вершина усеченной пирамиды — \(V\) - Центр меньшего основания — \(O_b\) - Центр большего основания — \(O_a\) Боковое ребро соединяет вершину \(V\) с вершиной большого основания. Также, поскольку пирамида правильная, основания — правильные многоугольники, и их центры совпадают с центром многоугольника. --- ### Шаг 6. Связь между углом \(\alpha\), боковым ребром и сторонами основания Пусть \(A_b\) — сторона малого основания, \(A_a\) — стороны большого основания. Из условия: \(\alpha = 45^\circ\) — угол между боковым ребром и стороной большого основания. Можно представить, что в треугольнике \(V O_b O_a\): - \(V O_a\) — высота \(h\) - \(V O_b\) — высота над меньшим основанием (или также равна высоте, с учетом разницы в расстояниях) - \(V O_b O_a\) — треугольник, в котором угол между боковым ребром и стороной основания равен 45°. --- ### Шаг 7. Выводим формулу для больших основания Из тригонометрии, \[ \cos \alpha = \frac{\text{проекция бокового ребра на плоскость основания}}{l} \] или \[ \sin \alpha = \frac{h}{l} \] Поскольку \(\alpha = 45^\circ\), и \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), Получаем: \[ h = l \times \sin 45^\circ = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\, \text{см} \] --- ### Шаг 8. Найдем сторону большого основания \(A_a\) Посмотрим на треугольник, образованный высотой \(h\) и половиной стороны большого основания \(a/2\). Из условий, и при мысленном построении бокового ребра, у нас есть следующее соотношение: \[ l^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \] где \(a\) — сторона большого основания, \(b = 2\, \text{см}\). Подставим известные значения: \[ (\sqrt{2})^2 = 1^2 + \left(\frac{a - 2}{2}\right)^2 \] \[ 2 = 1 + \frac{(a - 2)^2}{4} \] Вычитая 1: \[ 1 = \frac{(a - 2)^2}{4} \] Умножим обе части на 4: \[ 4 = (a - 2)^2 \] Берем корень из обеих частей: \[ a - 2 = \pm 2 \] Значит: 1. \(a - 2 = 2 \Rightarrow a = 4\) 2. \(a - 2 = -2 \Rightarrow a = 0\) (нельзя — сторона основания не может быть отрицательной или равной нулю) Итак, **сторона большого основания**: \[ \boxed{ a = 4\, \text{см} } \] --- ### Итог: - **Сторона большего основания:** \(4\, \text{см}\) - **Высота пирамиды:** \(h = 1\, \text{см}\) --- Если нужно что-то еще (например, площадь основания, объема или другие параметры), скажите.