Log2 (3-x)+log2 (1-x)=3

Давайте решим уравнение: \[ \log_2(3 - x) + \log_2(1 - x) = 3 \] ### Шаг 1. Используем свойства логарифмов Сложение логарифмов с одинаковым основанием равно логарифму произведения: \[ \log_2(3 - x) + \log_2(1 - x) = \log_2[(3 - x)(1 - x)] \] Тогда уравнение можно переписать так: \[ \log_2[(3 - x)(1 - x)] = 3 \] ### Шаг 2. Извлечь аргумент логарифма Напомним, что если \(\log_a A = B\), то \(A = a^B\). Значит: \[ (3 - x)(1 - x) = 2^3 \] Так как \(2^3 = 8\), получаем: \[ (3 - x)(1 - x) = 8 \] ### Шаг 3. Раскроем скобки Раскроем произведение: \[ (3 - x)(1 - x) = 3 \cdumentex 1 - 3x - x + x^2 = 3 - 3x - x + x^2 \] Объединим подобные слагаемые: \[ x^2 - 4x + 3 \] Итак, уравнение: \[ x^2 - 4x + 3 = 8 \] ### Шаг 4. Перенесем все в одну сторону Получим квадратное уравнение: \[ x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \] или: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] ### Шаг 5. Решим квадратное уравнение Используем формулу для решения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a=1\), \(b=-4\), \(c=-5\). Тогда: \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \] Отсюда получаем два решения: \[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] ### Шаг 6. Проверка условий определения логарифмов Логарифмы определены только при положительных аргументах: - \(3 - x > 0 \implies x < 3\) - \(1 - x > 0 \implies x < 1\) Следовательно, общий допустимый диапазон для \(x\): \[ x < 1 \] Теперь проверим наши решения: - \(x = 5\): не подходит, потому что \(x\) должно быть меньше 1. - \(x = -1\): подходит, потому что \(-1 < 1\). ### **Ответ:** **Решение:** \(\boxed{x = -1}\) Если нужно, я могу привести пояснения по каждому шагу более подробно.