log2 (3-x)+log2 (1-x)=3
Давайте решим уравнение:
\[
\log_2(3 - x) + \log_2(1 - x) = 3
\]
Шаг 1. Используем свойства логарифмов
Сложение логарифмов с одинаковым основанием равно логарифму произведения:
\[
\log_2(3 - x) + \log_2(1 - x) = \log_2[(3 - x)(1 - x)]
\]
Тогда уравнение можно переписать так:
\[
\log_2[(3 - x)(1 - x)] = 3
\]
Шаг 2. Извлечь аргумент логарифма
Напомним, что если \(\log_a A = B\), то \(A = a^B\).
Значит:
\[
(3 - x)(1 - x) = 2^3
\]
Так как \(2^3 = 8\), получаем:
\[
(3 - x)(1 - x) = 8
\]
Шаг 3. Раскроем скобки
Раскроем произведение:
\[
(3 - x)(1 - x) = 3 \cdumentex 1 - 3x - x + x^2 = 3 - 3x - x + x^2
\]
Объединим подобные слагаемые:
\[
x^2 - 4x + 3
\]
Итак, уравнение:
\[
x^2 - 4x + 3 = 8
\]
Шаг 4. Перенесем все в одну сторону
Получим квадратное уравнение:
\[
x^2 - 4x + 3 - 8 = 0
\]
или:
\[
x^2 - 4x - 5 = 0
\]
Шаг 5. Решим квадратное уравнение
Используем формулу для решения:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Здесь \(a=1\), \(b=-4\), \(c=-5\). Тогда:
\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}
\]
\[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \]
Отсюда получаем два решения:
\[
x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5
\]
\[
x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]
Шаг 6. Проверка условий определения логарифмов
Логарифмы определены только при положительных аргументах:
- \(3 - x > 0 \implies x < 3\)
- \(1 - x > 0 \implies x < 1\)
Следовательно, общий допустимый диапазон для \(x\):
\[
x < 1
\]
Теперь проверим наши решения:
- \(x = 5\): не подходит, потому что \(x\) должно быть меньше 1.
- \(x = -1\): подходит, потому что \(-1 < 1\).
Ответ:
Решение: \(\boxed{x = -1}\)
Если нужно, я могу привести пояснения по каждому шагу более подробно.
