Давайте решим уравнение: (\tan 2x - 5 = 0).
Шаг 1. Перепишем уравнение:
[
\tan 2x = 5
]
Это означает, что нам нужно найти такие значения (x), для которых тангенс двойного угла равен 5.
Шаг 2. Решение уравнения для (2x):
[
2x = \arctan(5) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Здесь (\arctan(5)) — это угол, чей тангенс равен 5.
Обратите внимание: функция (\arctan) возвращает углы в диапазоне ((-\pi/2, \pi/2)).
Шаг 3. Найти (x):
Делим обе части на 2:
[
x = \frac{\arctan(5)}{2} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Шаг 4. Вычислить (\arctan(5)):
(\arctan(5)) — это угол в радианах, приблизительно:
[
\arctan(5) \approx 1.3734 \text{ радиан}
]
Шаг 5. Итоговое решение:
[
x = \frac{1.3734}{2} + \frac{k\pi}{2} \approx 0.6867 + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
]
или более точно:
[
x = \frac{\arctan(5)}{2} + \frac{k\pi}{2}
]
Обратите внимание: это решение подходит для всех целых (k). Т.к. тангенс — периодическая функция с периодом (\pi), решение повторяется с этим интервалом.
Если нужны конкретные числовые значения — подставьте нужное значение (k).
Если хотите, я могу помочь с более подробным объяснением тригонометрических функций или графиком.
