Давайте разберемся с задачей поэтапно.
Задача: Найти площадь первообразной трапеции, ограниченной графиками у = x², у = 0 (ось абсцисс), а также вертикальными линиями x = 1 и x = 3.
Шаг 1: Определение первообразной трапеции
Под "площадью первообразной трапеции" обычно понимается площадь фигуры, которая находится между графиками и ограничена указанными линиями.
В данном случае:
- График у = x² — верхняя граница.
- Ось абсцисс у = 0 — нижняя граница.
- Вертикальные линии x = 1 и x = 3 — границы по оси x.
Шаг 2: Построение области
Область, которую нужно найти, — это фигура, ограниченная:
- сверху: графиком у = x²
- снизу: осью у = 0
- слева: x = 1
- справа: x = 3
Шаг 3: Запись выражения для площади
Площадь этой области можно найти, интегрируя функцию по оси x:
[
S = \int_{x=1}^{x=3} у = x^2 , dx
]
Это — интеграл от функции у = x² на интервале [1, 3].
Шаг 4: Вычисление интеграла
Найдем:")
[
S = \int_{1}^{3} x^2 , dx
]
Общий вид интеграла:
[
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
]
для n ≠ -1.
Применяем:
[
S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3}
]
Подставляем пределы:
[
S = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
]
Ответ:
Площадь ограниченной области равна (\boxed{\frac{26}{3}}).
Это примерно (8{,}67).
Если нужно более подробное объяснение или есть дополнительные вопросы — скажите!
