Давайте решим задачу: найти наименьшее значение функции ( y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 1 ).
Шаг 1: Анализ функции
Функция имеет вид:
[
y = A \sin (B x + C) + D
]
где:
- (A = 2),
- внутри синуса: ( x + \frac{\pi}{3} ),
- снаружи добавляемое число: (-1).
Основные свойства синуса:
- Значение (\sin \theta) меняется в диапазоне ([-1, 1]).
- Максимальное значение: 1.
- Минимальное значение: -1.
Шаг 2: Определить диапазон функции
Основа функции — линейная комбинация:
[
y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 1
]
поскольку (\sin) принимает все значения от -1 до 1, умножение на 2 даст диапазон:
[
2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \in [-2, 2]
]
Затем, вычитаем 1:
[
y \in [-2 - 1, 2 - 1] = [-3, 1]
]
Шаг 3: Наименьшее значение функции
Наименьшее значение достигается, когда (\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = -1):
[
\min y = 2 \times (-1) - 1 = -2 - 1 = -3
]
Итог:
Наименьшее значение функции ( y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 1 ) равно (-3).
Оно достигается при условии:
[
\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = -1,
]
то есть при:
[
x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
или
[
x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{9\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Полный ответ:
Наименьшее значение функции равно (-3), достигается при ( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi ), где (k) — целое число.
