найдите наименьшее значение функции у=2sin (x+п/3) -1
Давайте решим задачу: найти наименьшее значение функции \( y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 1 \).
Шаг 1: Анализ функции
Функция имеет вид: \[ y = A \sin (B x + C) + D \] где:
- \(A = 2\),
- внутри синуса: \( x + \frac{\pi}{3} \),
- снаружи добавляемое число: \(-1\).
Основные свойства синуса:
- Значение \(\sin \theta\) меняется в диапазоне \([-1, 1]\).
- Максимальное значение: 1.
- Минимальное значение: -1.
Шаг 2: Определить диапазон функции
Основа функции — линейная комбинация:
\[ y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 1 \]
поскольку \(\sin\) принимает все значения от -1 до 1, умножение на 2 даст диапазон: \[ 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \in [-2, 2] \]
Затем, вычитаем 1: \[ y \in [-2 - 1, 2 - 1] = [-3, 1] \]
Шаг 3: Наименьшее значение функции
Наименьшее значение достигается, когда \(\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = -1\): \[ \min y = 2 \times (-1) - 1 = -2 - 1 = -3 \]
Итог:
Наименьшее значение функции \( y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 1 \) равно \(-3\).
Оно достигается при условии:
\[
\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = -1,
\]
то есть при:
\[
x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
или \[ x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{9\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Полный ответ:
Наименьшее значение функции равно \(-3\), достигается при \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \), где \(k\) — целое число.
