Аффинные преобразования заданы формулами : х1=4x+y-3 y1=2x-5y+7

Давайте подробно разберем данное аффинное преобразование:

Дано:
\[ x_1 = 4x + y - 3 \\ y_1 = 2x - 5y + 7 \]

Это аффинное преобразование — преобразование, которое можно представить в виде матрицы и вектора сдвига:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \]

Нам нужно привести данный пример к такому виду, чтобы было понятно, какая это матрица и какой вектор сдвига.

Шаг 1: Определить матрицу преобразования

Из данных уравнений:

\[ x_1 = 4x + y - 3 \\ y_1 = 2x - 5y + 7 \]

В матричной форме это выглядит так:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \end{bmatrix} \]

Итоговое преобразование:

\[ \boxed{ \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \end{bmatrix} } \]

Шаг 2: Проверка свойства преобразования (по необходимости)

Можно, например, найти определитель матрицы, чтобы понять, сохраняется ли ориентация и не является ли преобразование вырожденным:

\[ \det A = (4)(-5) - (1)(2) = -20 - 2 = -22 \]

Так как determinant не равен нулю (-22), преобразование — аффинное и reversibly (обратимое).

Если нужно, можем найти обратное преобразование или прояснить какие-либо его свойства. Но в основном задача — это выразить преобразование в матричной форме, что мы сделали.

Если есть дополнительные вопросы: например, найти образ конкретной точки, определить обратное преобразование или применить его к данному примеру — я с удовольствием помогу!