Давайте решим данную логарифмическую задачу и подробно остановимся на каждом шаге.
Задача:
[
\log_m x = 3 \log_m a - 2 \log_m b + \log_m (a + b)
]
Цель — понять, как упростить правую часть и найти выражение для (x).
Шаг 1: Используем свойства логарифмов
Основные свойства логарифмов, которые пригодятся:
- (\log_m (A \cdot B) = \log_m A + \log_m B)
- (\log_m \left( \frac{A}{B} \right) = \log_m A - \log_m B)
- (k \log_m A = \log_m A^k)
Шаг 2: Преобразуем каждое слагаемое
Раскроем каждую часть справа:
- (3 \log_m a = \log_m a^3)
- (- 2 \log_m b = - \log_m b^2 = \log_m b^{-2})
- (\log_m (a + b)) остается без изменений
Шаг 3: Объединяем логарифмы
Теперь соберем все логарифмы в одну функцию:
[
\log_m x = \log_m a^3 + \log_m b^{-2} + \log_m (a + b)
]
Используем свойство сложения логарифмов:
[
\log_m x = \log_m \left( a^3 \right) + \log_m \left( b^{-2} \right) + \log_m (a + b) = \log_m \left( a^3 \cdot b^{-2} \cdot (a + b) \right)
]
Шаг 4: Запишем итоговое выражение для (x)
Так как (\log_m x = \log_m \left( a^3 \cdot b^{-2} \cdot (a + b) \right)), то:
[
x = a^3 \cdot b^{-2} \cdot (a + b)
]
Или, более явно:
[
x = \frac{a^3 (a + b)}{b^2}
]
Итог:
Ответ:
[
\boxed{
x = \frac{a^3 (a + b)}{b^2}
}
]
Если потребуется, можно оставить это выражение в виде дроби или развернутым. Надеюсь, решение ясно и понятно!
