logm x = 3logma-2logm b + logm (a+b)
Давайте решим данную логарифмическую задачу и подробно остановимся на каждом шаге.
Задача:
\[
\log_m x = 3 \log_m a - 2 \log_m b + \log_m (a + b)
\]
Цель — понять, как упростить правую часть и найти выражение для \(x\).
Шаг 1: Используем свойства логарифмов
Основные свойства логарифмов, которые пригодятся:
- \(\log_m (A \cdot B) = \log_m A + \log_m B\)
- \(\log_m \left( \frac{A}{B} \right) = \log_m A - \log_m B\)
- \(k \log_m A = \log_m A^k\)
Шаг 2: Преобразуем каждое слагаемое
Раскроем каждую часть справа:
- \(3 \log_m a = \log_m a^3\)
- \(- 2 \log_m b = - \log_m b^2 = \log_m b^{-2}\)
- \(\log_m (a + b)\) остается без изменений
Шаг 3: Объединяем логарифмы
Теперь соберем все логарифмы в одну функцию:
\[ \log_m x = \log_m a^3 + \log_m b^{-2} + \log_m (a + b) \]
Используем свойство сложения логарифмов:
\[ \log_m x = \log_m \left( a^3 \right) + \log_m \left( b^{-2} \right) + \log_m (a + b) = \log_m \left( a^3 \cdot b^{-2} \cdot (a + b) \right) \]
Шаг 4: Запишем итоговое выражение для \(x\)
Так как \(\log_m x = \log_m \left( a^3 \cdot b^{-2} \cdot (a + b) \right)\), то:
\[ x = a^3 \cdot b^{-2} \cdot (a + b) \]
Или, более явно:
\[ x = \frac{a^3 (a + b)}{b^2} \]
Итог:
Ответ:
\[
\boxed{
x = \frac{a^3 (a + b)}{b^2}
}
\]
Если потребуется, можно оставить это выражение в виде дроби или развернутым. Надеюсь, решение ясно и понятно!
