Для того чтобы оценить среднее количество сделок за неделю по выборочной средней с доверительным интервалом при надежности 0,99, используем следующие шаги:
Шаг 1: Запишем исходные данные
Данные о количестве сделок (𝑥𝑖) и число инвесторов (𝑛𝑖):
| 𝑥𝑖 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 𝑛𝑖 |
4 |
6 |
8 |
7 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Шаг 2: Определим общий сбор данных
Общее число инвесторов (N):
N = 4 + 6 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 + 1 = 35
Общее количество сделок (совокупное количество сделок):
S = 04 + 16 + 28 + 37 + 44 + 53 + 62 + 71
Рассчитаем:
- 0 * 4 = 0
- 1 * 6 = 6
- 2 * 8 = 16
- 3 * 7 = 21
- 4 * 4 = 16
- 5 * 3 = 15
- 6 * 2 = 12
- 7 * 1 = 7
Сумма S:
S = 0 + 6 + 16 + 21 + 16 + 15 + 12 + 7 = 93
Шаг 3: Расчёт выборочного среднего
[
\bar{x} = \frac{S}{N} = \frac{93}{35} \approx 2,6571
]
Шаг 4: Расчёт выборочной дисперсии
Чтобы найти дисперсию, необходимо вычислить выборочное значение квадрата отклонения относительно среднего:
[
\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i} n_i (x_i - \bar{x})^2
]
Вычислим каждый вклад:
| 𝑥𝑖 |
𝑛𝑖 |
x_i - 𝑥̄ |
(x_i - 𝑥̄)^2 |
n_i * (x_i - 𝑥̄)^2 |
| 0 |
4 |
0 - 2.6571 ≈ -2.6571 |
(2.6571)^2 ≈ 7.064 |
4 * 7.064 ≈ 28.257 |
| 1 |
6 |
1 - 2.6571 ≈ -1.6571 |
≈ 2.746 |
6 * 2.746 ≈ 16.476 |
| 2 |
8 |
2 - 2.6571 ≈ -0.6571 |
≈ 0.431 |
8 * 0.431 ≈ 3.448 |
| 3 |
7 |
3 - 2.6571 ≈ 0.3429 |
≈ 0.118 |
7 * 0.118 ≈ 0.826 |
| 4 |
4 |
4 - 2.6571 ≈ 1.3429 |
≈ 1.803 |
4 * 1.803 ≈ 7.212 |
| 5 |
3 |
5 - 2.6571 ≈ 2.3429 |
≈ 5.488 |
3 * 5.488 ≈ 16.464 |
| 6 |
2 |
6 - 2.6571 ≈ 3.3429 |
≈ 11.173 |
2 * 11.173 ≈ 22.347 |
| 7 |
1 |
7 - 2.6571 ≈ 4.3429 |
≈ 18.88 |
1 * 18.88 ≈ 18.88 |
Сумма всех вкладов:
28.257 + 16.476 + 3.448 + 0.826 + 7.212 + 16.464 + 22.347 + 18.88 ≈ 113.84
Дисперсия (по выборке):
[
\sigma^2 = \frac{113.84}{35} \approx 3.253
]
Стандартное отклонение:
[
\sigma \approx \sqrt{3.253} \approx 1.805
]
Шаг 5: Расчёт доверительного интервала
Для среднего значения при нормальном распределении и известной дисперсии (или большой выборке), используем формулу:
[
\text{Доверительный интервал} = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{N}}
]
Для доверительности 0,99 значение z-распределения:
[
z_{0,995} \approx 2.576
]
Подставим:
[
\text{Погрешность} = 2.576 \times \frac{1.805}{\sqrt{35}} \approx 2.576 \times \frac{1.805}{5.916} \approx 2.576 \times 0.305 \approx 0.787
]
Итоговый доверительный интервал:
[
\boxed{
2,66 \pm 0,79
}
]
или в виде:
[
(2,66 - 0,79 ; 2,66 + 0,79) = (1,87 ; 3,45)
]
Ответ:
Доверительный интервал с точностью до 10^-2:
(1,87 ; 3,45)
