Для решения задачи обозначим ёмкости двух конденсаторов как ( C_1 ) и ( C_2 ).
Известно:
- Последовательное соединение:
[
C_{послед} = \frac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2} = 0{,}8, \text{мкФ}
]
- Пар parallel соединение:
[
C_{параллель} = C_1 + C_2 = 5, \text{мкФ}
]
Нам нужно найти ( C_1 ) и ( C_2 ).
Шаг 1: Запишем систему уравнений
[
\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = 0,8 \quad (1)
]
[
C_1 + C_2 = 5 \quad (2)
]
Шаг 2: Выразим одно из переменных через другую из уравнения (2):
[
C_2 = 5 - C_1
]
Подставим это в уравнение (1):
[
\frac{C_1 (5 - C_1)}{C_1 + (5 - C_1)} = 0,8
]
Обратите внимание:
[
C_1 + (5 - C_1) = 5
]
Тогда уравнение упрощается:
[
\frac{C_1 (5 - C_1)}{5} = 0,8
]
Шаг 3: Решение уравнения
Умножим обе части на 5:
[
C_1 (5 - C_1) = 4
]
Раскроем скобки:
[
5 C_1 - C_1^2 = 4
]
Перенесем все в левую часть:
[
-C_1^2 + 5 C_1 - 4 = 0
]
или
[
C_1^2 - 5 C_1 + 4 = 0
]
Шаг 4: Решаем квадратичное уравнение
Используем формулу:
[
C_1 = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}
]
Так как:
[
\sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3
]
Получаем два решения:
[
C_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4
]
или
[
C_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1
]
Шаг 5: Находим ( C_2 )
Если ( C_1 = 4 ):
[
C_2 = 5 - 4 = 1, \text{мкФ}
]
Если ( C_1 = 1 ):
[
C_2 = 5 - 1 = 4, \text{мкФ}
]
Ответ:
Конденсаторы могут иметь следующие ёмкости:
[
\boxed{
\text{Первый: } 1, \text{мкФ}, \quad \text{Второй: } 4, \text{мкФ}
}
]
или
[
\boxed{
\text{Первый: } 4, \text{мкФ}, \quad \text{Второй: } 1, \text{мкФ}
}
]
То есть, ёмкости могут меняться местами, но сумма всегда 5 мкФ, а их последовательное соединение даёт 0,8 мкФ.
