х²-4х=3√х²-4х+20 -10
Давайте подробно решим уравнение:
\[ x^2 - 4x = 3 \sqrt{x^2 - 4x + 20} - 10 \]
Шаг 1: Сделаем замену для упрощения выражения
Обозначим:
\[ y = x^2 - 4x \]
Тогда уравнение примет вид:
\[ y = 3 \sqrt{ y + 20 } - 10 \]
Шаг 2: Перепишем уравнение в терминах y
\[ y + 10 = 3 \sqrt{ y + 20 } \]
Далее выразим \( y + 10 \):
\[ y + 10 = 3 \sqrt{ y + 20 } \]
Шаг 3: Возьмем в обе части уравнения квадрат:
Чтобы избавиться от корня, возьмем квадрат обеих частей:
\[ ( y + 10 )^2 = 9 ( y + 20 ) \]
Раскроем скобки:
\[ y^2 + 20 y + 100 = 9 y + 180 \]
Шаг 4: приведем уравнение к стандартному виду
Перенесем все в левую часть:
\[ y^2 + 20 y + 100 - 9 y - 180 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ y^2 + (20 y - 9 y) + (100 - 180) = 0 \]
\[ y^2 + 11 y - 80 = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Дискриминант:
\[ D = (11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 121 + 320 = 441 \]
Корень:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \]
Решения для y:
\[ y = \frac{-11 \pm 21}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \( y = \frac{-11 + 21}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( y = \frac{-11 - 21}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \)
Шаг 6: Вернуться к переменной x
Recall: \( y = x^2 - 4x \). Теперь решим для каждого y.
Для \( y = 5 \):
\[ x^2 - 4x = 5 \]
Перенесем в уравнение:
\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
Корень:
\[ \sqrt{36} = 6 \]
Общие решения:
\[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \]
Варианты:
- \( x = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( x = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Проверка — подставим в исходное уравнение, чтобы убедиться, что получили допустимые решения в исходной формуле.
Проверка для \( x = 5 \):
Левое:
\[ 5^2 - 4 \cdot 5 = 25 - 20 = 5 \]
Правое:
\[ 3 \sqrt{5 + 20} - 10 = 3 \sqrt{25} - 10 = 3 \cdot 5 - 10 = 15 - 10 = 5 \]
Совпадает — решение допустимо.
Проверка для \( x = -1 \):
Левое:
\[ (-1)^2 - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \]
Правое:
\[ 3 \sqrt{-1 + 20} - 10 = 3 \sqrt{19} - 10 \approx 3 \times 4.36 - 10 \approx 13.09 - 10 = 3.09 \]
Левое равно 5, а правое примерно 3.09 — не совпадает, значит, \( x = -1 \) не является решением исходного уравнения.
Для \( y = -16 \):
\[ x^2 - 4x = -16 \]
Перенесем:
\[ x^2 - 4x + 16 = 0 \]
Решаем:
Дискриминант:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 \]
Отрицательный дискриминант — решений в действительных числах нет, значит, для \( y = -16 \) решений нет.
Итог:
- Единственное подходящее решение по исходному уравнению — \( x = 5 \).
- Решения: \( \boxed{x=5} \)
Если нужно, я могу объяснить каждый шаг более подробно или помочь с другими заданиями!
