Х²-4х=3√х²-4х+20 -10

Давайте подробно решим уравнение: \[ x^2 - 4x = 3 \sqrt{x^2 - 4x + 20} - 10 \] --- **Шаг 1: Сделаем замену для упрощения выражения** Обозначим: \[ y = x^2 - 4x \] Тогда уравнение примет вид: \[ y = 3 \sqrt{ y + 20 } - 10 \] --- **Шаг 2: Перепишем уравнение в терминах y** \[ y + 10 = 3 \sqrt{ y + 20 } \] Далее выразим \( y + 10 \): \[ y + 10 = 3 \sqrt{ y + 20 } \] --- **Шаг 3: Возьмем в обе части уравнения квадрат:** Чтобы избавиться от корня, возьмем квадрат обеих частей: \[ ( y + 10 )^2 = 9 ( y + 20 ) \] Раскроем скобки: \[ y^2 + 20 y + 100 = 9 y + 180 \] --- **Шаг 4: приведем уравнение к стандартному виду** Перенесем все в левую часть: \[ y^2 + 20 y + 100 - 9 y - 180 = 0 \] Объединим подобные: \[ y^2 + (20 y - 9 y) + (100 - 180) = 0 \] \[ y^2 + 11 y - 80 = 0 \] --- **Шаг 5: Решим квадратное уравнение** Дискриминант: \[ D = (11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 121 + 320 = 441 \] Корень: \[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \] Решения для y: \[ y = \frac{-11 \pm 21}{2} \] Рассмотрим оба варианта: 1. \( y = \frac{-11 + 21}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) 2. \( y = \frac{-11 - 21}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \) --- **Шаг 6: Вернуться к переменной x** Recall: \( y = x^2 - 4x \). Теперь решим для каждого y. --- ### Для \( y = 5 \): \[ x^2 - 4x = 5 \] Перенесем в уравнение: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Корень: \[ \sqrt{36} = 6 \] Общие решения: \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \] Варианты: - \( x = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) - \( x = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) Проверка — подставим в исходное уравнение, чтобы убедиться, что получили допустимые решения в исходной формуле. --- ### Проверка для \( x = 5 \): Левое: \[ 5^2 - 4 \cdot 5 = 25 - 20 = 5 \] Правое: \[ 3 \sqrt{5 + 20} - 10 = 3 \sqrt{25} - 10 = 3 \cdot 5 - 10 = 15 - 10 = 5 \] Совпадает — решение допустимо. --- ### Проверка для \( x = -1 \): Левое: \[ (-1)^2 - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \] Правое: \[ 3 \sqrt{-1 + 20} - 10 = 3 \sqrt{19} - 10 \approx 3 \times 4.36 - 10 \approx 13.09 - 10 = 3.09 \] Левое равно 5, а правое примерно 3.09 — не совпадает, значит, \( x = -1 \) не является решением исходного уравнения. --- ### Для \( y = -16 \): \[ x^2 - 4x = -16 \] Перенесем: \[ x^2 - 4x + 16 = 0 \] Решаем: Дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 \] Отрицательный дискриминант — решений в действительных числах нет, значит, для \( y = -16 \) решений нет. --- ## Итог: - Единственное подходящее решение по исходному уравнению — **\( x = 5 \)**. - Решения: **\( \boxed{x=5} \)** --- Если нужно, я могу объяснить каждый шаг более подробно или помочь с другими заданиями!