Полное решение

Это решающий лист контрольной работы по математике, содержащий задания разного уровня сложности — от вычислений и преобразований выражений до определения направленного вектора и координат его начала. Ниже я постараюсь объяснить каждое из заданий и приведу полное решение. --- ### Задание 1 **Определите матрицу и определитель матрицы:** \[ \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \] **Решение:** Матрица уже дана. Определитель матрицы 2x2 вычисляется по формуле: \[ \det = ad - bc \] Подставим значения: \[ \det = (0 \times 3) - (-2 \times -2) = 0 - 4 = -4 \] --- ### Задание 2 **Пусть:** \[ \mathbf{a} = (6, -2, 9), \quad \mathbf{b} = (-1, 2, -3) \] **Определите векторный продукт \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\):** Используем формулу для векторного произведения: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & -2 & 9 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} \] Рассчитаем по формуле: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}((-2)(-3) - 9 \times 2) - \mathbf{j}(6 \times (-3) - 9 \times (-1)) + \mathbf{k}(6 \times 2 - (-2)(-1)) \] Вычисляем по частям: \[ \mathbf{i} (6 - 18) = \mathbf{i}(-12) \\ \mathbf{j} (-18 + 9) = \mathbf{j}(-9) \\ \mathbf{k} (12 - 2) = \mathbf{k}(10) \] Итак, вектор: \[ \boxed{(-12, 9, 10)} \] --- ### Задание 3 **Если \(x\) — система линейных уравнений:** \[ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - y = 1 \end{cases} \] **Нужно решить и найти значение \(x\).** Решение: Из второго уравнения: \[ x = y + 1 \] Подставляем в первое: \[ 2(y + 1) + y = 4 \Rightarrow 2y + 2 + y = 4 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3} \] Тогда: \[ x = y + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3} \] **Ответ:** \[ x = \frac{5}{3} \] --- ### Задание 4 **Если \(\mathbf{a} = (3, -2)\), найти электроэнергетический вектор \(\mathbf{b}\), прошедший через точку \((4, -1)\), и коэффициент наклона (угол наклона).** Решение: Так как точка \((4, -1)\) лежит на линии, задаваемой вектором, то уравнение линии: \[ y = kx + b \] где \(k\) — наклон. Подставим точки для определения наклона: Если вектор \(\mathbf{a} = (3, -2)\) — это направление, то наклон: \[ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2}{3} \] Теперь определим \(b\), подставляя точку: \[ -1 = -\frac{2}{3} \times 4 + b \Rightarrow -1 = -\frac{8}{3} + b \Rightarrow b = -1 + \frac{8}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{8}{3} = \frac{5}{3} \] **Итог:** Уравнение линии: \[ y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3} \] --- ### Задание 5 **Векторное произведение — найти вектор \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\), где** \[ \mathbf{a} = (-8, 2), \quad \mathbf{b} = (3, -2) \] Векторное произведение определяется только для 3D-векторов, в 2D — используют результирующий вектор, считаемый по формуле: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = a_x b_y - a_y b_x \] Подставляем: \[ (-8) \times (-2) - 2 \times 3 = 16 - 6 = 10 \] Это — скалярное значение, однако для полного вектора нужно представить его в виде 3D-вектора с нулевыми \(z\)-компонентами: \[ (0, 0, 10) \] --- ### Задание 6 **Координаты направляющего вектора: \(\vec{d} = ( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3} )\).** Ответ очевиден: \[ \boxed{\left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3} \right)} \] --- ### Задание 7 **Вычислить \(\frac{a}{b}\) и найти номер правильного ответа.** Задание не содержит никаких значений, но предполагается, что нужно было вычислить число \(\frac{a}{b}\). Без данных невозможно определить. --- ### Задание 8 **Вычислить \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и определить номер правильного ответа.** Это — \(\tan \alpha\). Ответ: \[ \tan \alpha \] --- Это основные решения заданий, а также объяснения к ним. Если потребуется разбирание какого-то конкретного пункта подробнее или по другим задачам — обращайтесь!