Полное решение
Это решающий лист контрольной работы по математике, содержащий задания разного уровня сложности — от вычислений и преобразований выражений до определения направленного вектора и координат его начала. Ниже я постараюсь объяснить каждое из заданий и приведу полное решение.
Задание 1
Определите матрицу и определитель матрицы:
\[
\begin{bmatrix}
0 & -2 \\
-2 & 3
\end{bmatrix}
\]
Решение:
Матрица уже дана.
Определитель матрицы 2x2 вычисляется по формуле:
\[
\det = ad - bc
\]
Подставим значения:
\[
\det = (0 \times 3) - (-2 \times -2) = 0 - 4 = -4
\]
Задание 2
Пусть:
\[
\mathbf{a} = (6, -2, 9), \quad \mathbf{b} = (-1, 2, -3)
\]
Определите векторный продукт \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\):
Используем формулу для векторного произведения:
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
6 & -2 & 9 \\
-1 & 2 & -3
\end{vmatrix}
\]
Рассчитаем по формуле:
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}((-2)(-3) - 9 \times 2) - \mathbf{j}(6 \times (-3) - 9 \times (-1)) + \mathbf{k}(6 \times 2 - (-2)(-1))
\]
Вычисляем по частям:
\[
\mathbf{i} (6 - 18) = \mathbf{i}(-12) \\
\mathbf{j} (-18 + 9) = \mathbf{j}(-9) \\
\mathbf{k} (12 - 2) = \mathbf{k}(10)
\]
Итак, вектор:
\[
\boxed{(-12, 9, 10)}
\]
Задание 3
Если \(x\) — система линейных уравнений:
\[
\begin{cases}
2x + y = 4 \\
x - y = 1
\end{cases}
\]
Нужно решить и найти значение \(x\).
Решение:
Из второго уравнения:
\[
x = y + 1
\]
Подставляем в первое:
\[
2(y + 1) + y = 4 \Rightarrow 2y + 2 + y = 4 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}
\]
Тогда:
\[
x = y + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}
\]
Ответ:
\[
x = \frac{5}{3}
\]
Задание 4
Если \(\mathbf{a} = (3, -2)\), найти электроэнергетический вектор \(\mathbf{b}\), прошедший через точку \((4, -1)\), и коэффициент наклона (угол наклона).
Решение:
Так как точка \((4, -1)\) лежит на линии, задаваемой вектором, то уравнение линии:
\[
y = kx + b
\]
где \(k\) — наклон.
Подставим точки для определения наклона:
Если вектор \(\mathbf{a} = (3, -2)\) — это направление, то наклон:
\[
k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2}{3}
\]
Теперь определим \(b\), подставляя точку:
\[
-1 = -\frac{2}{3} \times 4 + b \Rightarrow -1 = -\frac{8}{3} + b \Rightarrow b = -1 + \frac{8}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{8}{3} = \frac{5}{3}
\]
Итог:
Уравнение линии:
\[
y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}
\]
Задание 5
Векторное произведение — найти вектор \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\), где
\[
\mathbf{a} = (-8, 2), \quad \mathbf{b} = (3, -2)
\]
Векторное произведение определяется только для 3D-векторов, в 2D — используют результирующий вектор, считаемый по формуле:
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a_x b_y - a_y b_x
\]
Подставляем:
\[
(-8) \times (-2) - 2 \times 3 = 16 - 6 = 10
\]
Это — скалярное значение, однако для полного вектора нужно представить его в виде 3D-вектора с нулевыми \(z\)-компонентами:
\[
(0, 0, 10)
\]
Задание 6
Координаты направляющего вектора: \(\vec{d} = ( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3} )\).
Ответ очевиден:
\[
\boxed{\left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3} \right)}
\]
Задание 7
Вычислить \(\frac{a}{b}\) и найти номер правильного ответа.
Задание не содержит никаких значений, но предполагается, что нужно было вычислить число \(\frac{a}{b}\). Без данных невозможно определить.
Задание 8
Вычислить \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и определить номер правильного ответа.
Это — \(\tan \alpha\).
Ответ:
\[
\tan \alpha
\]
Это основные решения заданий, а также объяснения к ним. Если потребуется разбирание какого-то конкретного пункта подробнее или по другим задачам — обращайтесь!
