Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 6x^2 - x^3 на отрезке [-1; 6]

Давайте решим задачу — найдём наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = 6x^2 - x^3 \) на отрезке \([-1; 6]\). ### Шаг 1: Определим область Область определения — отрезок \([-1; 6]\). Значит, мы ищем максимум и минимум функции внутри этого интервала, а также на его границах. --- ### Шаг 2: Найдём критические точки функции внутри интервала Для этого найдём первую производную функции \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - x^3) = 12x - 3x^2 \] Выделим общие множители: \[ f'(x) = 3x(4 - x) \] Решим уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ 3x(4 - x) = 0 \] Это равносильно: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \] Об обеих точках проверяем, они попадают в интервал \([-1; 6]\), — да, обе подходят. --- ### Шаг 3: Определим значения функции в критических точках и на границах Теперь находим \(f(x)\) в следующих точках: - \( x = -1 \) - \( x = 0 \) - \( x = 4 \) - \( x = 6 \) #### В точке \(x = -1\): \[ f(-1) = 6(-1)^2 - (-1)^3 = 6 \times 1 - (-1) = 6 + 1 = 7 \] #### В точке \(x = 0\): \[ f(0) = 6 \times 0^2 - 0^3 = 0 - 0 = 0 \] #### В точке \(x = 4\): \[ f(4) = 6 \times 4^2 - 4^3 = 6 \times 16 - 64 = 96 - 64 = 32 \] #### В точке \(x = 6\): \[ f(6) = 6 \times 6^2 - 6^3 = 6 \times 36 - 216 = 216 - 216 = 0 \] --- ### Шаг 4: Определим максимум и минимум - Значения функции на границах и критических точках: - \(f(-1) = 7\) - \(f(0) = 0\) - \(f(4) = 32\) - \(f(6) = 0\) **Наибольшее значение:** 32 (при x=4). **Наименьшее значение:** 0 (при x=0 или x=6). --- ### Итог: \[ \boxed{ \text{Наибольшее значение функции на } [-1;6] \text{ равно } \mathbf{32} \quad (\text{при } x=4) } \] \[ \boxed{ \text{Наименьшее значение функции на } [-1;6] \text{ равно } \mathbf{0} \quad (\text{при } x=0 \text{ и } x=6) } \] Если есть дополнительные вопросы, — спрашивайте!