Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 6x^2 - x^3 на отрезке [-1; 6]
Давайте решим задачу — найдём наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = 6x^2 - x^3 \) на отрезке \([-1; 6]\).
Шаг 1: Определим область
Область определения — отрезок \([-1; 6]\). Значит, мы ищем максимум и минимум функции внутри этого интервала, а также на его границах.
Шаг 2: Найдём критические точки функции внутри интервала
Для этого найдём первую производную функции \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - x^3) = 12x - 3x^2 \]
Выделим общие множители:
\[ f'(x) = 3x(4 - x) \]
Решим уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 3x(4 - x) = 0 \]
Это равносильно:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
Об обеих точках проверяем, они попадают в интервал \([-1; 6]\), — да, обе подходят.
Шаг 3: Определим значения функции в критических точках и на границах
Теперь находим \(f(x)\) в следующих точках:
- \( x = -1 \)
- \( x = 0 \)
- \( x = 4 \)
- \( x = 6 \)
В точке \(x = -1\):
\[ f(-1) = 6(-1)^2 - (-1)^3 = 6 \times 1 - (-1) = 6 + 1 = 7 \]
В точке \(x = 0\):
\[ f(0) = 6 \times 0^2 - 0^3 = 0 - 0 = 0 \]
В точке \(x = 4\):
\[ f(4) = 6 \times 4^2 - 4^3 = 6 \times 16 - 64 = 96 - 64 = 32 \]
В точке \(x = 6\):
\[ f(6) = 6 \times 6^2 - 6^3 = 6 \times 36 - 216 = 216 - 216 = 0 \]
Шаг 4: Определим максимум и минимум
- Значения функции на границах и критических точках:
- \(f(-1) = 7\)
- \(f(0) = 0\)
- \(f(4) = 32\)
- \(f(6) = 0\)
Наибольшее значение: 32 (при x=4).
Наименьшее значение: 0 (при x=0 или x=6).
Итог:
\[ \boxed{ \text{Наибольшее значение функции на } [-1;6] \text{ равно } \mathbf{32} \quad (\text{при } x=4) } \]
\[ \boxed{ \text{Наименьшее значение функции на } [-1;6] \text{ равно } \mathbf{0} \quad (\text{при } x=0 \text{ и } x=6) } \]
Если есть дополнительные вопросы, — спрашивайте!
