Давайте подробно разберем задачу и решим её пошагово. ### Исходные данные: - Общее число работников предприятия: \( N = 3675 \) - Обследовано работников: \( n = 441 \) - Среднее потерь рабочего времени по выборке: \( \bar{X} = 24 \) минуты - Среднее квадратическое отклонение выборки: \( \sigma_X = 16 \) минут - Количество работников, у которых выявлены потери: \( n_{loss} = 265 \) Задача просит определить с вероятностью \( P(t) = 0,9742 \): a) **Пределы для среднего времени потерь рабочего времени** b) **Пределы для доли работников, допустивших внутрисменные потери** --- # Решение ## 1. Определение доверительных интервалов для среднего времени потерь ### а) Средние потери рабочего времени **Шаг 1. Вычисление доверительного интервала для среднего** Так как у нас есть выборочные среднее и стандартное отклонение, и размер выборки не очень мал, можно использовать показатель t-распределения или нормальное распределение (так как n=441 достаточно велико). Для надежности возьмем z-критерий, связанный с вероятностью \(1 - \alpha\): - Вероятность \( P(t) = 0,9742 \) соответствует двум хвостам: 1 - 0,9742 = 0,0258, делим на 2: \( \alpha/2 \approx 0,0129 \) **Обращаемся к стандартной нормальной таблице:** - Для \( 1 - \alpha/2 \approx 0,9871 \), соответсвуещий z-критерий: \( z \approx 2,21 \) **Шаг 2. Рассчитаем доверительный интервал** Формула доверительного интервала для среднего при известной дисперсии: \[ \bar{X} \pm z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] Где: - \( \bar{X} = 24 \) минуты - \( \sigma = 16 \) минуты - \( n = 441 \) Подставим значения: \[ \text{Пределы} = 24 \pm 2,21 \times \frac{16}{\sqrt{441}} \] \[ \sqrt{441} = 21 \] Итак, \[ 2,21 \times \frac{16}{21} = 2,21 \times \frac{16}{21} = 2,21 \times 0,7619 \approx 1,68 \] **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Пределы среднего времени} = 24 \pm 1,68 } \] То есть, с вероятностью 97,42%: \[ \boxed{ \text{Среднее время потерь} \in [22,32\, \text{минут}, 25,68\, \text{минут}] } \] --- ## 2. Оценка доли работников с внутрисменными потерями ### б) Доля работников, допустивших внутрисменные потери Дано, что у 265 человек из 441 выявлены потери. ### Шаг 1. Построение доверительного интервала для пропорции Выборочная пропорция: \[ \hat{p} = \frac{265}{441} \approx 0,601 \] Стандартная погрешность: \[ \text{SE} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,601 \times 0,399}{441}} \] Посчитаем числитель: \[ 0,601 \times 0,399 \approx 0,24 \] Делим на \( 441 \): \[ \frac{0,24}{441} \approx 0,000544 \] Вычисляем корень: \[ \text{SE} = \sqrt{0,000544} \approx 0,0233 \] ### Шаг 2. Используем те же z-значение \( z \approx 2,21 \) Доверительный интервал для пропорции: \[ \hat{p} \pm z \times \text{SE} = 0,601 \pm 2,21 \times 0,0233 \] Расчет: \[ 2,21 \times 0,0233 \approx 0,0514 \] **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Доля работников с внутрисменными потерями} \in [0,601 - 0,0514,\, 0,601 + 0,0514] \approx [0,549,\, 0,652] } \] --- # Итог: **а)** Среднее время потерь рабочих дней: \(\boxed{22,32\, \text{мин} \leq \mu \leq 25,68\, \text{мин}}\) **б)** Доля работников, допустивших потери: \(\boxed{54,9\% \leq p \leq 65,2\%}\) Если есть необходимость более точных расчетов или уточнений — скажите!