Вычислите площадь участка стола, отведенного для презентации работ дизайнера Василия, периметр которого ограничивают линии у=x2-2x-2 и у=-x2+2. Выполните чертеж. Ответ дайте в…

Давайте пошагово решим задачу и подробно объясним каждый этап.

Задача:
Вычислить площадь участка стола, ограниченного двумя параболами:

1. \( y = x^2 - 2x - 2 \)
2. \( y = -x^2 + 2 \)

Не забудем учесть, что нужно выполнить чертеж, чтобы понять область, и вычислить её площадь.

---

Шаг 1: Анализ уравнений линий

Первая парабола:
\[ y_1 = x^2 - 2x - 2 \]

Вторая парабола:
\[ y_2 = -x^2 + 2 \]

Область — это область, ограниченная этими двумя кривыми.

---

Шаг 2: Нахождение точек пересечения (границ области)

Чтобы найти границы области, найдем точки пересечения двух парабол:

\[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \]

Перенесем всё в левую сторону:
\[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \]

Объединим подобные:
\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]

Поделим всё уравнение на 2 для упрощения:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Корни:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Получаем два корня:

• \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

Точки пересечения находятся при \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

---

Шаг 3: Определение области и осмотр графиков

На интервале \( x \in [-1, 2] \):

• Верхняя кривая — \( y_2 = -x^2 + 2 \),
• Нижняя кривая — \( y_1 = x^2 - 2x - 2 \).

Чтобы найти площадь области, ограниченной этими кривыми, нужно проинтегрировать разность:
\[ \text{Площадь} = \int_{x=-1}^{x=2} [ y_{верх} - y_{низ} ] dx \] где:

• \( y_{верх} = -x^2 + 2 \),
• \( y_{низ} = x^2 - 2x - 2 \).

---

Шаг 4: Вычисление интеграла

Подставим и упростим выражение:
\[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)] dx \]

Раскроем скобки:
\[ = \int_{-1}^{2} [-x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2] dx \]

Объединим подобные:
\[ = \int_{-1}^{2} [-2x^2 + 2x + 4] dx \]

Теперь найдем интеграл каждого члена:
\[ \int -2x^2 dx = -2 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{2}{3} x^3 \]

\[ \int 2x dx = x^2 \]

\[ \int 4 dx = 4x \]

Итак, интеграл функции:
\[ F(x) = -\frac{2}{3} x^3 + x^2 + 4x \]

---

Шаг 5: Подставление пределов и вычисление площади

Найдём значение \( F(x) \) в точках \( x = 2 \) и \( x = -1 \):

• \( F(2) = -\frac{2}{3} \cdot 8 + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 4 + 8 \)

Переведем всё к общему знаменателю 3:
\[ F(2) = -\frac{16}{3} + \frac{12}{3} + \frac{24}{3} = \frac{-16 + 12 + 24}{3} = \frac{20}{3} \]

• \( F(-1) = -\frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + (-1)^2 + 4 \cdot (-1) \)

Рассчитаем:
\[ -\frac{2}{3} \cdot (-1) = \frac{2}{3} \] \[ (-1)^2 = 1 \] \[ 4 \cdot (-1) = -4 \]

Следовательно:
\[ F(-1) = \frac{2}{3} + 1 - 4 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} - \frac{12}{3} = \frac{2 + 3 - 12}{3} = \frac{-7}{3} \]

---

Шаг 6: Итоговая площадь

Площадь:
\[ \text{Площадь} = F(2) - F(-1) = \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]

Ответ: площадь ограниченной области равна 9 квадратных метров.

---

Итог:

Площадь участка, ограниченного линиями \( y = x^2 - 2x - 2 \) и \( y = -x^2 + 2 \), равна 9 м².

Если понадобится, я могу помочь вам построить чертеж или объяснить подробнее любой из шагов!