Вычислите площадь участка стола, отведенного для презентации работ дизайнера Василия, периметр которого ограничивают линии у=x2-2x-2 и у=-x2+2. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Давайте пошагово решим задачу и подробно объясним каждый этап. **Задача:** Вычислить площадь участка стола, ограниченного двумя параболами: 1. \( y = x^2 - 2x - 2 \) 2. \( y = -x^2 + 2 \) Не забудем учесть, что нужно выполнить чертеж, чтобы понять область, и вычислить её площадь. --- ### Шаг 1: Анализ уравнений линий Первая парабола: \[ y_1 = x^2 - 2x - 2 \] Вторая парабола: \[ y_2 = -x^2 + 2 \] Область — это область, ограниченная этими двумя кривыми. --- ### Шаг 2: Нахождение точек пересечения (границ области) Чтобы найти границы области, найдем точки пересечения двух парабол: \[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \] Перенесем всё в левую сторону: \[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \] Объединим подобные: \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \] Поделим всё уравнение на 2 для упрощения: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Получаем два корня: - \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) - \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) Точки пересечения находятся при \( x = -1 \) и \( x = 2 \). --- ### Шаг 3: Определение области и осмотр графиков На интервале \( x \in [-1, 2] \): - Верхняя кривая — \( y_2 = -x^2 + 2 \), - Нижняя кривая — \( y_1 = x^2 - 2x - 2 \). Чтобы найти площадь области, ограниченной этими кривыми, нужно проинтегрировать разность: \[ \text{Площадь} = \int_{x=-1}^{x=2} [ y_{верх} - y_{низ} ] dx \] где: - \( y_{верх} = -x^2 + 2 \), - \( y_{низ} = x^2 - 2x - 2 \). --- ### Шаг 4: Вычисление интеграла Подставим и упростим выражение: \[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)] dx \] Раскроем скобки: \[ = \int_{-1}^{2} [-x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2] dx \] Объединим подобные: \[ = \int_{-1}^{2} [-2x^2 + 2x + 4] dx \] Теперь найдем интеграл каждого члена: \[ \int -2x^2 dx = -2 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{2}{3} x^3 \] \[ \int 2x dx = x^2 \] \[ \int 4 dx = 4x \] Итак, интеграл функции: \[ F(x) = -\frac{2}{3} x^3 + x^2 + 4x \] --- ### Шаг 5: Подставление пределов и вычисление площади Найдём значение \( F(x) \) в точках \( x = 2 \) и \( x = -1 \): - \( F(2) = -\frac{2}{3} \cdot 8 + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 4 + 8 \) Переведем всё к общему знаменателю 3: \[ F(2) = -\frac{16}{3} + \frac{12}{3} + \frac{24}{3} = \frac{-16 + 12 + 24}{3} = \frac{20}{3} \] - \( F(-1) = -\frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + (-1)^2 + 4 \cdot (-1) \) Рассчитаем: \[ -\frac{2}{3} \cdot (-1) = \frac{2}{3} \] \[ (-1)^2 = 1 \] \[ 4 \cdot (-1) = -4 \] Следовательно: \[ F(-1) = \frac{2}{3} + 1 - 4 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} - \frac{12}{3} = \frac{2 + 3 - 12}{3} = \frac{-7}{3} \] --- ### Шаг 6: Итоговая площадь Площадь: \[ \text{Площадь} = F(2) - F(-1) = \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \] **Ответ:** площадь ограниченной области равна **9 квадратных метров**. --- ## Итог: **Площадь участка, ограниченного линиями \( y = x^2 - 2x - 2 \) и \( y = -x^2 + 2 \), равна 9 м².** Если понадобится, я могу помочь вам построить чертеж или объяснить подробнее любой из шагов!