Y=2x²,y=2√x

Давайте разберемся с этими двумя функциями: 1. \( y = 2x^2 \) — парабола. 2. \( y = 2\sqrt{x} \) — корень из \( x \). Цель: понять их свойства, сравнить, найти точки пересечения и другие важные аспекты. --- ### 1. Анализ функций #### функция 1: \( y = 2x^2 \) - Это парабола, открытая вверх. - Основание — точка (0,0), потому что при \( x=0 \), \( y=0 \). - Степень — 2, потому что квадратичная. - Ведение — возрастает при \( x > 0 \) и убывает при \( x < 0 \), но так как она симметрична относительно оси \( y \), она будет "зазубренной" с вершиной в точке (0,0). #### функция 2: \( y = 2\sqrt{x} \) - Это график функции корня из \( x \), умноженного на 2. - Определена только при \( x \geq 0 \), так как исходная функция корня не определена для отрицательных \( x \). - При \( x=0 \), \( y=0 \). - При больших \( x \), \( y \) растет медленно, так как корень растет очень медленно. --- ### 2. Построение графиков (по признакам, без чертежа) - Первая функция: кривая, симметричная относительно оси \( y \), растет очень быстро при больших \( |x| \). - Вторая функция: кривая, начинающаяся в начале координат и растущая очень медленно, изгибающаяся вниз. --- ### 3. Точки пересечения Находим \( x \), при которых \( 2x^2 = 2\sqrt{x} \): \[ 2x^2 = 2\sqrt{x} \] Разделим обе части на 2: \[ x^2 = \sqrt{x} \] Далее, чтобы избавиться от корня, возьмем оба члена в степень 2 (при этом нужно учитывать, что \( x \geq 0 \), так как слева — квадратичная функция, а справа — корень, определенный только для \( x \geq 0 \)): \[ (x^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \\ x^4 = x \] Рассмотрим уравнение: \[ x^4 - x = 0 \] Вынесем \( x \): \[ x(x^3 - 1) = 0 \] Итак, решения: \[ x=0 \quad \text{или} \quad x^3 = 1 \Rightarrow x=1 \] Поскольку мы ищем точки пересечения, подставим обратно в функцию \( y \): - Для \( x=0 \): \[ y=2*0^2=0 \] и \[ y=2\sqrt{0}=0 \] То есть точка пересечения: **(0,0)**. - Для \( x=1 \): \[ y=2*1^2=2 \] и \[ y=2\sqrt{1}=2 \] Также совпадение по \( y \), есть вторая точка пересечения: **(1,2)**. ### Итог: точки пересечения — \((0,0)\) и \((1,2)\). --- ### 4. Анализ поведения на промежутках - В интервале \( 0 \leq x \leq 1 \), первая функция растет от 0 до 2, вторая — тоже растет, но очень медленно. - За пределами \( x > 1 \): \( y=2x^2 \) растет быстрее, чем \( y=2\sqrt{x} \), они не пересекаются дальше. --- ### Итоговая информация - **Общие свойства:** \[ y=2x^2 \text{ — парабола, симметричная, растет быстро} \\ y=2\sqrt{x} \text{ — кривистая, растет медленно, определена для } x \geq 0 \] - **Точки пересечения:** (0,0) и (1,2). Если нужно еще — найти, например, область пересечения или построить график — сообщите!