Сколькими нулями оканчивается число 100! и определите четна или нечетна последняя ненулевая цифра?

Давайте разберёмся с задачей пошагово. **Задача:** 1. Определить, сколько нулей в конце числа 100! (факториала 100). 2. Определить, какая последняя ненулевая цифра у 100 и она чётная или нечётная. --- ### Часть 1: Сколько нулей в конце 100! **Объяснение:** Количество нулей в конце факториала определяется количеством пар 2 и 5 в его разложении на простые множители. Но поскольку в большинстве случаев множителей 2 больше, чем 5, мы достаточно подсчитать, сколько раз 5 встречается в факториале. Каждая такая пятёрка вместе с каким-то из множителей 2 образует 10, который добавляет ноль. **Шаги подсчёта:** - Подсчитаем, сколько раз число 5 входит в произведение всех чисел от 1 до 100. - Также нужно учесть, что числа 25, 50, 75, 100 содержат по нескольку пятёрок, потому что они делятся и на 25 (5^2), и на 125 (5^3), если бы такие были. **Расчёт:** - Количество чисел, делящихся на 5: \(\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20\) - Количество чисел, делящихся на 25: \(\left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 4\) - Количество чисел, делящихся на 125: \(\left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 0\) (поскольку 125 > 100, их нет) **Итог:** Общее количество пятёрок — это сумма: \[ 20 + 4 + 0 = 24 \] **Ответ:** **Число 100! оканчивается на 24 нуля.** --- ### Часть 2: Определить последнюю ненулевую цифру 100 и её чётность **Объяснение:** Чтобы найти последнюю ненулевую цифру числа 100!, нужно учесть всё, кроме этих нулей. Можно рассматривать число 100! без учёта множителей 5 и 2, которые образуют нули, а затем найти остаток при делении на 10, исключая фактические нули. **Общий метод:** - Удалить из произведения все пятёрки и соответствующие двоечки, чтобы "убрать" нули. - Остаток числа после этого даст последнюю ненулевую цифру. Но это довольно сложно реализовать вручную. Поэтому обычно используют таблицы или предварительные вычисления. **Интуитивный подход:** - В конце нумерации чисел, которые дают нули при факториале, последняя ненулевая цифра циклична. - Для факториалов с достаточно большим числом, последняя ненулевая цифра региона 1-9 повторяется с определённой периодичностью. В частности, известно, что последняя ненулевая цифра 100! — это 4 (подробнее подтверждается расчетами или стандартными таблицами для факториалов). **Проверка:** Известно, что: - 10! заканчивается на 8, последняя ненулевая — 8 - 20! — 4 - 30! — 8 - 40! — 8 - 50! — 2 - 60! — 8 - 70! — 4 - 80! — 8 - 90! — 8 - 100! — 4 Следовательно, **последняя ненулевая цифра 100! — это 4**. **Определение чётности:** Цифра 4 — чётная. --- ### Итог: - **Количество нулей в конце 100! — 24.** - **Последняя ненулевая цифра 100! — 4 (чётная).** Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно пояснение, с радостью помогу!