Невозбуждённый атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны λ = 102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус электронной орбиты возбуждённого атома водорода.

Давайте подробно разберём задачу с использованием теории Бора.

Задача:
Невозбуждённый атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны \(\lambda = 102{,}6\,\text{нм}\). Нужно найти радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.

Шаг 1. Понимание ситуации и ключевых данных

• Длина волны поглощённого фотона: \(\lambda = 102,6\,\text{нм}\)
• Согласно теории Бора, при поглощении фотона электрон переходит с одного уровня на следующий более высокий.
• В исходном состоянии электрон находился в основном уровне (на нулевом или первом уровне \(n=1\)), а после поглощения — находится на уровне \(n=\text{будущего уровня}\).

Шаг 2. Связь энергии фотона и перехода между уровнями

Энергия фотона: \[ E = \frac{hc}{\lambda} \] где:

• \(h = 6{,}626 \times 10^{-34}\, \Дж \cdot \text{s}\) — постоянная Планка,
• \(c = 3 \times 10^{8}\,\text{м/с}\) — скорость света,
• \(\lambda = 102,6\,\text{нм} = 102,6 \times 10^{-9}\,\text{м}\).

Подставим: \[ E = \frac{6,626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{102,6 \times 10^{-9}} \approx \frac{1,9878 \times 10^{-25}}{102,6 \times 10^{-9}} \]

Проведём деление: \[ E \approx 1,937 \times 10^{-18}\,\text{Дж} \]

Переведём энергию в электронвольты (\(1\,\text{эВ} = 1,602 \times 10^{-19}\,\text{Дж}\)): \[ E \approx \frac{1,937 \times 10^{-18}}{1,602 \times 10^{-19}} \approx 12,09\,\textэВ \]

Шаг 3. Определение уровня \(n\)

Энергии уровней по теории Бора: \[ E_n = - \frac{13,6\,\text{эВ}}{n^2} \]

Энергия фотона должна соответствовать разнице между двумя уровнями: \[ E_{n} - E_{1} = \Delta E \]

Так как начальный уровень — \(n=1\), и предыдущее состояние — тоже \(n=1\), то для возбуждения: \[ E_{n} - E_1 = E_\text{фотона} \] \[ \left( - \frac{13,6}{n^2} \right) - \left( -13,6 \right) = E_\text{фотона} \] \[ 13,6 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = 12,09 \text{эВ} \]

Решим уравнение относительно \(n\): \[ 1 - \frac{1}{n^2} = \frac{12,09}{13,6} \approx 0,888 \] \[ \frac{1}{n^2} = 1 - 0,888 = 0,112 \] \[ n^2 = \frac{1}{0,112} \approx 8,93 \] \[ n \approx \sqrt{8,93} \approx 2,99 \approx 3 \]

Итак, электрон перешёл на уровень \(n=3\).

Шаг 4. Радиус орбиты уровня \(n=3\)

Радиус орбит по теории Бора: \[ r_n = n^2 r_0 \] где:

• \(r_0 \approx 0,529\,\нм\) — радиус первой орбиты (классический радиус Бора).

Итак: \[ r_3 = 3^2 \times 0,529\,\нм = 9 \times 0,529\,\нм \approx 4,76\,\нм \]

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Радиус орбиты возбужденного уровня } n=3: \approx 4,76\,\text{нм} } \]

Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение более подробно — скажите!