Докажем, что, начиная с некоторого n , будет выполнено неравенство 0,999 в степени n<0,001

Давайте подробно решим задачу: докажем, что для некоторых достаточно больших n неравенство \( (0{,}999)^n < 0{,}001 \) выполняется.

Шаг 1: Записываем условие задачи

Нам нужно найти такое n, при котором: \[ (0{,}999)^n < 0{,}001 \]

Шаг 2: Используем свойства показательной функции

Поскольку \( 0{,}999 \) — это число, немного меньшее 1, то при увеличении n выражение \( (0{,}999)^n \) стремится к 0. Чтобы найти n, при котором оно станет меньше 0,001, возьмём логарифмы.

Шаг 3: Применим логарифмы

Преобразуем неравенство: \[ (0{,}999)^n < 0{,}001 \] Взяв логарифм по основанию \( e \) (натуральный логарифм), получим: \[ \ln((0{,}999)^n) < \ln(0{,}001) \] Используя свойства логарифмов: \[ n \cdot \ln(0{,}999) < \ln(0{,}001) \]

Шаг 4: Анализируем логарифмы

• Логарифм числа, чуть меньше 1, отрицателен: \[ \ln(0{,}999) < 0 \]
• Логарифм 0,001: \[ \ln(0{,}001) = \ln(1/1000) = -\ln(1000) \approx -6.907755 \]

Логарифм 0,999:

Используем приближение для небольших x: \(\ln(1 - x) \approx -x\) при \(x \to 0\).

Здесь \( x = 0,001 \), поэтому:

\[ \ln(0,999) \approx -0,001 \]

Этот приближается к точному значению.

Шаг 5: Решаем неравенство

Подставляем полученные значения:

\[ n \cdot \ln(0,999) \approx n \cdot (-0,001) < -6,907755 \]

Делим обе части на \(\ln(0,999)\), которая отрицательна, поэтому знак неравенства меняется:

\[ n > \frac{-6,907755}{\ln(0,999)} \]

Подставляя приближение:

\[ n > \frac{-6,907755}{-0,001} = 6907,755 \]

Итог:

Нам достаточно выбрать любой n, больший примерно 6908, чтобы выполнялось неравенство:

\[ (0,999)^n < 0,001 \]

ответ:

Для любого n > 6908, неравенство \( (0,999)^n < 0,001 \) истинно.