Давайте подробно решим задачу: докажем, что для некоторых достаточно больших n неравенство ( (0{,}999)^n < 0{,}001 ) выполняется.
Шаг 1: Записываем условие задачи
Нам нужно найти такое n, при котором:
[
(0{,}999)^n < 0{,}001
]
Шаг 2: Используем свойства показательной функции
Поскольку ( 0{,}999 ) — это число, немного меньшее 1, то при увеличении n выражение ( (0{,}999)^n ) стремится к 0. Чтобы найти n, при котором оно станет меньше 0,001, возьмём логарифмы.
Шаг 3: Применим логарифмы
Преобразуем неравенство:
[
(0{,}999)^n < 0{,}001
]
Взяв логарифм по основанию ( e ) (натуральный логарифм), получим:
[
\ln((0{,}999)^n) < \ln(0{,}001)
]
Используя свойства логарифмов:
[
n \cdot \ln(0{,}999) < \ln(0{,}001)
]
Шаг 4: Анализируем логарифмы
- Логарифм числа, чуть меньше 1, отрицателен:
[
\ln(0{,}999) < 0
]
- Логарифм 0,001:
[
\ln(0{,}001) = \ln(1/1000) = -\ln(1000) \approx -6.907755
]
Логарифм 0,999:
Используем приближение для небольших x: (\ln(1 - x) \approx -x) при (x \to 0).
Здесь ( x = 0,001 ), поэтому:
[
\ln(0,999) \approx -0,001
]
Этот приближается к точному значению.
Шаг 5: Решаем неравенство
Подставляем полученные значения:
[
n \cdot \ln(0,999) \approx n \cdot (-0,001) < -6,907755
]
Делим обе части на (\ln(0,999)), которая отрицательна, поэтому знак неравенства меняется:
[
n > \frac{-6,907755}{\ln(0,999)}
]
Подставляя приближение:
[
n > \frac{-6,907755}{-0,001} = 6907,755
]
Итог:
Нам достаточно выбрать любой n, больший примерно 6908, чтобы выполнялось неравенство:
[
(0,999)^n < 0,001
]
ответ:
Для любого n > 6908, неравенство ( (0,999)^n < 0,001 ) истинно.
