7 задание

Для выполнения 7-го задания необходимо решить неравенство: \[ \sqrt{78 + x} \geq x + 6 \] Шаг 1. Проверим область определения. Дерево: - чтобы под корнем было неотрицательное число: \[ 78 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -78 \] Шаг 2. Анализ неравенства. Рассмотрим случаи: **Если \(\sqrt{78 + x} \geq 0\)** (а это так, так как корень — неотрицательное число), то можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня, при этом сохранив неравенство, так как обе стороны неотрицательны. \[ (\sqrt{78 + x})^2 \geq (x + 6)^2 \] Что даёт: \[ 78 + x \geq (x + 6)^2 \] Раскроем квадрат справа: \[ 78 + x \geq x^2 + 12x + 36 \] Перенесём все члены в одну сторону: \[ 78 + x - x^2 - 12x - 36 \geq 0 \] Объединим подобные члены: \[ -x^2 + (x - 12x) + (78 - 36) \geq 0 \] \[ -x^2 - 11x + 42 \geq 0 \] Упростим, умножив обе части на -1 (при этом знак неравенства поменяется): \[ x^2 + 11x - 42 \leq 0 \] Теперь решим квадратное неравенство: \[ x^2 + 11x - 42 \leq 0 \] Шаг 3. Найдём корни квадратного уравнения: \[ x^2 + 11x - 42 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 121 + 168 = 289 \] Корни: \[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-11 \pm 17}{2} \] Получаем два корня: 1. \(\displaystyle x = \frac{-11 + 17}{2} = \frac{6}{2} = 3\) 2. \(\displaystyle x = \frac{-11 - 17}{2} = \frac{-28}{2} = -14\) Поскольку неравенство — "меньше или равно нулю", то решение: \[ x \in [-14, 3] \] Шаг 4. Проверка условий области определения. Область определения: \(x \geq -78\). На интервале \([-14, 3]\) все значения удовлетворяют \(x \geq -78\). Шаг 5. Проверка пограничных точек. - В точке \(x = -14\): \[ \sqrt{78 + (-14)} = \sqrt{64} = 8 \] \[ x + 6 = -14 + 6 = -8 \] \[ 8 \geq -8 \quad \text{верно} \] - В точке \(x=3\): \[ \sqrt{78 + 3} = \sqrt{81} = 9 \] \[ x + 6 = 3 + 6 = 9 \] \[ 9 \geq 9 \quad \text{верно} \] Также проверим, что оба выражения остаются в пределах допустимого. **Вывод:** Решение неравенства: \[ \boxed{ x \in [-14, 3] } \]