7 задание
Для выполнения 7-го задания необходимо решить неравенство:
\[ \sqrt{78 + x} \geq x + 6 \]
Шаг 1. Проверим область определения.
Дерево:
- чтобы под корнем было неотрицательное число:
\[ 78 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -78 \]
Шаг 2. Анализ неравенства.
Рассмотрим случаи:
Если \(\sqrt{78 + x} \geq 0\) (а это так, так как корень — неотрицательное число), то можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня, при этом сохранив неравенство, так как обе стороны неотрицательны.
\[ (\sqrt{78 + x})^2 \geq (x + 6)^2 \]
Что даёт:
\[ 78 + x \geq (x + 6)^2 \]
Раскроем квадрат справа:
\[ 78 + x \geq x^2 + 12x + 36 \]
Перенесём все члены в одну сторону:
\[ 78 + x - x^2 - 12x - 36 \geq 0 \]
Объединим подобные члены:
\[ -x^2 + (x - 12x) + (78 - 36) \geq 0 \]
\[ -x^2 - 11x + 42 \geq 0 \]
Упростим, умножив обе части на -1 (при этом знак неравенства поменяется):
\[ x^2 + 11x - 42 \leq 0 \]
Теперь решим квадратное неравенство:
\[ x^2 + 11x - 42 \leq 0 \]
Шаг 3. Найдём корни квадратного уравнения:
\[ x^2 + 11x - 42 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 121 + 168 = 289 \]
Корни:
\[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-11 \pm 17}{2} \]
Получаем два корня:
\(\displaystyle x = \frac{-11 + 17}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
\(\displaystyle x = \frac{-11 - 17}{2} = \frac{-28}{2} = -14\)
Поскольку неравенство — "меньше или равно нулю", то решение:
\[ x \in [-14, 3] \]
Шаг 4. Проверка условий области определения.
Область определения: \(x \geq -78\).
На интервале \([-14, 3]\) все значения удовлетворяют \(x \geq -78\).
Шаг 5. Проверка пограничных точек.
- В точке \(x = -14\):
\[ \sqrt{78 + (-14)} = \sqrt{64} = 8 \]
\[ x + 6 = -14 + 6 = -8 \]
\[ 8 \geq -8 \quad \text{верно} \]
- В точке \(x=3\):
\[ \sqrt{78 + 3} = \sqrt{81} = 9 \]
\[ x + 6 = 3 + 6 = 9 \]
\[ 9 \geq 9 \quad \text{верно} \]
Также проверим, что оба выражения остаются в пределах допустимого.
Вывод:
Решение неравенства:
\[ \boxed{ x \in [-14, 3] } \]
