F(x)=√4-x+√4+x

Рассмотрим функцию: \[f(x)=\sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x}\] Цель — понять и подробно разобрать эту функцию. --- ### 1. Область определения функции Чтобы определить, для каких значений \(x\) функция имеет смысл, нужно найти условия для радикалов: - \(\sqrt{4 - x}\) существует при \(4 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4\) - \(\sqrt{4 + x}\) существует при \(4 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -4\) Следовательно, \[ \boxed{ \text{Область определения: } -4 \leq x \leq 4 } \] --- ### 2. Анализ поведения функции В целом, функция представляет собой сумму двух радикалов. Она симметрична относительно оси \(x=0\), потому что при замене \(x\) на \(-x\), функция не меняется: \[ f(-x) = \sqrt{4 - (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x} = f(x) \] Значит, функция — чётная. --- ### 3. Исследование функции #### a) Значения в краевых точках: - При \(x = -4\): \[ f(-4) = \sqrt{4 - (-4)} + \sqrt{4 + (-4)} = \sqrt{8} + \sqrt{0} = 2\sqrt{2} + 0 = 2\sqrt{2} \approx 2.828 \] - При \(x = 4\): \[ f(4) = \sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 + 4} = 0 + \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 \] - В центре, при \(x=0\): \[ f(0) = \sqrt{4 - 0} + \sqrt{4 + 0} = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4 \] #### b) Поведение внутри интервала: На интервале \([-4, 4]\) по мере приближения к краям функция уменьшается, достигая максимум в центре (у \(x=0\)), где значение равно 4. **График функции:** симметричный, с максимумом в центре. --- ### 4. Производная функции для анализа убывания/возрастания Обозначим \(f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x}\). Рассчитаем производную: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 - x} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 + x} \right) \] Используем правило дифференцирования \(\sqrt{u}\): \[ \frac{d}{dx} \sqrt{u} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot u' \] Для первой части: \[ \frac{d}{dx} \sqrt{4 - x} = \frac{1}{2\sqrt{4 - x}} \cdot (-1) = - \frac{1}{2\sqrt{4 - x}} \] Для второй части: \[ \frac{d}{dx} \sqrt{4 + x} = \frac{1}{2\sqrt{4 + x}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{4 + x}} \] Итак, \[ f'(x) = - \frac{1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{4 + x}} \] Объединим: \[ f'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{4 + x}} - \frac{1}{\sqrt{4 - x}} \right) \] Чтобы определить знаки, сделаем общий знаменатель: \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4 - x} - \sqrt{4 + x}}{\sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{4 - x}} \] Обозначим числитель: \[ \sqrt{4 - x} - \sqrt{4 + x} \] - при \(x \in (-4, 4)\), так как \(\sqrt{4 - x} \geq \sqrt{4 + x}\) при \(x \leq 0\), - и наоборот при \(x > 0\). Заметим, что в интервале \((-4, 4)\): - В точке \(x=0\): \[ f'(0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4 - 0} - \sqrt{4 + 0}}{\sqrt{4 + 0} \cdot \sqrt{4 - 0}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{2 \cdot 2} = 0 \] Интуитивно: максимум достигается в \(x=0\), значение — 4. - Для \(x>0\): \[ \sqrt{4 - x} < \sqrt{4 + x} \] Следовательно, числитель \(\sqrt{4 - x} - \sqrt{4 + x}\) отрицателен, и производная отрицательна — функция убывает. - Для \(x<0\): \[ \sqrt{4 - x} > \sqrt{4 + x} \] Числитель положителен, и функция возрастает. Итог: - функция возрастает на \([-4,0]\), - достигает максимум в \(x=0\), - и убывает на \([0,4]\). --- ### Итог: - **Область определения:** \([-4,4]\) - **Максимум в центре:** \(f(0) = 4\) - **Знаки у производной:** положительна на \([-4,0)\), отрицательна на \((0,4]\) - **Интересные точки:** - \(-4,4\): \(f=\! 2\sqrt{2}\approx 2.828\) - \(0\): максимум, \(f=4\) --- Если нужны дополнительные графики или более глубокий анализ, скажи!