номер 4 решить

Задача №4: По данному графику проекции скорости построить график для координаты и проекции скорости тела.

Дан график проекции ускорения \(a_x\) по времени: он показывает, что ускорение равно 2 м/c² в течение первого 2 секунд, затем становится 0, и после 3 секунд снова стало -2 м/c².

Для построения графика координаты \(x(t)\) и скорости \(v_x(t)\):

Шаг 1: Найти скорость \(v_x(t)\)

• Скорость определяется интегралом ускорения: \(v_x(t) = v_{x0} + \int_0^t a_x(t) dt\).

Из графика ускорения:

• В течение 0-2 секунд \(\displaystyle a_x = 2\) м/c²,
• В 2-3 секунд \(\displaystyle a_x = 0\),
• В 3-5 секунд \(\displaystyle a_x = -2\) м/c².

Предположим, начальная скорость \(v_{x0} = 0\).

• В первые 2 секунды: \(v_x = 0 + \int_0^2 2 dt = 2 \times 2 = 4\) м/с.
• В 2-3 секундах: \(\displaystyle a_x=0\), скорость остаётся постоянной: \(v_x = 4\) м/с.
• В 3-5 секунд: \(\displaystyle a_x=-2\), за 2 секунды снижается на \(2 \times 2= 4\) м/с, то есть: \(v_x = 4 - 2 \times (t-3)\).

Общий вид функции: \[ v_x(t) = \begin{cases} 0 + 2t, & 0 \leq t \leq 2, \\ 4, & 2 < t \leq 3, \\ 4 - 2(t - 3), & 3 < t \leq 5. \end{cases} \]

Шаг 2: Построение графика координаты \(x(t)\)

• Координата – это интеграл скорости: \(\displaystyle x(t) = x_0 + \int_0^t v_x(t) dt\).

Пусть начальная координата \(x_0 = 0\).

• В первые 2 секунды: \[ x(t) = \int_0^t 2t' dt' = t^2, \quad 0 \leq t \leq 2. \] (поскольку скорость растёт линейно, интеграл даёт квадратичную функцию).

• В 2-3 секунды: \[ x(t) = x(2) + \int_2^t 4 dt' = 4 + 4(t - 2) = 4t - 4. \] (принимая \(x(2) = 4 \times 2 - 4 = 4\)).

• В 3-5 секунд: \[ x(t) = x(3) + \int_3^t v_x(t') dt'. \]

На интервале 3-5 секунд:

\[ v_x(t') = 4 - 2(t' - 3), \quad t' \in (3, 5). \]

Интеграл: \[ x(t) = x(3) + \int_3^t [4 - 2(t' - 3)] dt' = x(3) + \int_3^t (4 - 2t' + 6) dt' = x(3) + \int_3^t (10 - 2t') dt'. \]

\[ x(3) = 4 \times 3 - 4 = 12 - 4 = 8. \] Интеграл: \[ \int_3^t (10 - 2t') dt' = 10(t - 3) - (t'^2 - 9)/1 \text{ evaluated from } 3 \text{ to } t, \] или проще: \[ \int_3^t (10 - 2t') dt' = 10(t - 3) - [t'^2/2 - 9] \text{ на границах}. \] Корректнее: \[ \int_3^t (10 - 2t') dt' = 10(t - 3) - (t^2 - 9). \]

ИТОГ: \[ x(t) = 8 + 10(t - 3) - (t^2 - 9) = 8 + 10t - 30 - t^2 + 9 = (8 - 30 + 9) + 10t - t^2 = (-13) + 10t - t^2. \]

Итоговые формулы:

\[ x(t) = \begin{cases} t^2, & 0 \leq t \leq 2, \\ 4t - 4, & 2 < t \leq 3, \\ - t^2 + 10 t - 13, & 3 < t \leq 5. \end{cases} \]

Это численное описание графиков для координаты и скорости на основе данного графика ускорения.

Если нужно, я могу помочь построить графики или объяснить более подробно любой из этапов.