Космонавты прибыли на планету и, чтобы протестировать луноходы в условиях пересечённой местности, решили устроить гонки. Они решили ехать дистанцию б километров. Проехав 1,5 км, медик понял, что отстаёт от инженера, и увеличил скорость в 3 раза. В итоге оба приехали одновременно.
На сколько метров отставал медик от инженера после половины пути инженера, если инженер всю дистанцию ехал с одинаковой скоростью?
Ответ
Ответ: 1500 метров.
Пошаговое решение
- Обозначения:
- D — пройденная дистанция всей гонки (км).
- Скорость инженера: v_e (постоянная).
- Скорость медика до поворота: v_m.
- После 1,5 км медика скорость становится в 3 раза больше: 3v_m.
- Время гонки у медика: T_m = 1,5 / v_m + (D − 1,5) / (3 v_m).
- Время гонки у инженера: T_e = D / v_e.
- Так как они финишируют одновременно, T_m = T_e.
- Уравнение равного времени:
T_m = 1,5 / v_m + (D − 1,5) / (3 v_m) = (D/3 + 1) / v_m.
T_e = D / v_e.
Значит, v_e = D v_m / (D/3 + 1).
- Время, за которое инженер проходит половину дистанции:
t_half = (D/2) / v_e = (D/3 + 1) / (2 v_m).
- Сравнение t_half и t1 = 1,5 / v_m (время до поворота скорости медика):
t_half − t1 = (D/3 + 1)/(2 v_m) − 1,5/v_m = (D − 6) / (6 v_m).
Таким образом, для D ≥ 6 км половина пути инженера наступает после того момента, как медика уже сменил скорость (т.к. t_half ≥ t1). Поэтому далее для D ≥ 6 разберёмся с корректировкой дистанции медика.
- Дистанция медика к моменту, когда инженер достиг своей половины пути (D ≥ 6):
d_medic = 1,5 км (до поворота) + [скорость медика после поворота] × [время между поворотом и моментом половины дистанции]
= 1,5 + 3 v_m (t_half − t1)
= 1,5 + 3 v_m · (D − 6) / (6 v_m)
= 1,5 + (D − 6)/2
= 0,5 D − 1,5 км.
- Дистанция инженера на этом же моменте = D/2 км.
Отставание медика от инженера:
Δ = (D/2) − (0,5 D − 1,5) = 1,5 км.
- Преобразуем в метры: 1,5 км = 1500 м.
Итого, после того, как инженер прошёл половину пути, медика отстаёт на 1500 метров (при условии D ≥ 6 км; для D < 6 км результат зависит от D, но для стандартной формулировки задачи обычно принимают 1500 м).
