√67

Задача: √67 Вывод: корень из 67 не является точным целым или рациональным квадратом, поэтому √67 остается в иррациональной форме. Приближенное десятичное значение: около 8.18535. Пошаговое решение и объяснение 1) Признание вида задачи - 67 не является квадратом целого числа: 8^2 = 64, 9^2 = 81. Значит корень √67 не целый и не рациональный в точной форме. - Поэтому будем искать приближенное десятичное значение. 2) Способ 1: метод Ньютона (итерационное приближение) - Пусть f(x) = x^2 − 67. Метода Ньютона: x_{n+1} = (x_n + 67/x_n)/2. - Начальное приближение можно взять, например, x_0 = 8.2 (между 8 и 9). - Первая итерация: x_1 = (8.2 + 67/8.2)/2 ≈ (8.2 + 8.1707317)/2 ≈ 8.1853659 - Вторая итерация (уже получаем очень близко к ответу): x_2 ≈ (x_1 + 67/x_1)/2 ≈ 8.1853528 - Третья итерация даст значения ещё ближе; в итоге приходит к ≈ 8.18535277... - Таким образом, √67 ≈ 8.18535277 (до восьми знаков после запятой). 3) Способ 2: разложение через биномиальную формулу (быстрый точный оценочный подход) - Запишем √67 как √(64 · (1 + 3/64)) = 8 · √(1 + 3/64). - Обозначим y = 3/64 = 0.046875. Для small y можно использовать разложение √(1+y) ≈ 1 + y/2 − y^2/8 + y^3/16. - y/2 = 0.046875/2 = 0.0234375 - y^2 = (0.046875)^2 ≈ 0.002197265625; y^2/8 ≈ 0.000274658203125 - y^3 = y^2·y ≈ 0.000102996826171875; y^3/16 ≈ 0.0000064373641357421875 - Подставим в формулу: √(1+y) ≈ 1 + 0.0234375 − 0.000274658203125 + 0.0000064373641357421875 ≈ 1.023169279 - Умножим на 8: √67 ≈ 8 × 1.023169279 ≈ 8.185354232 - Такой подход даёт близкое значение; более точное вычисление даёт примерно 8.18535277. 4) Проверка и итог - Примерная проверка: (8.18535)^2 ≈ 66.99995, что очень близко к 67. - Итоговая приближённая запись: √67 ≈ 8.18535 (до 5 знаков после запятой), точнее ≈ 8.1853527719… Ответ - Точная форма: √67 не сокращается до рационального выражения. - Приближённое значение: √67 ≈ 8.18535 (до 5 знаков после запятой), более точно ≈ 8.1853527719.