x2-8x+9

Задача, по-видимому, про решение уравнения x^2 - 8x + 9 = 0 (часто в 8 классе так и запрашивают). Ниже даю подробное решение несколькими способами, чтобы лучше понять.

1. Решение через дискриминант (классический метод)

• Пусть уравнение x^2 - 8x + 9 = 0, где a = 1, b = -8, c = 9.
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4·1·9 = 64 - 36 = 28.
• Корни: x = (-b ± √D) / (2a) = (8 ± √28) / 2.
• Упрощаем √28: √28 = 2√7. Тогда x = (8 ± 2√7) / 2 = 4 ± √7.
• Итог: корни x1 = 4 + √7, x2 = 4 - √7.
• Приближённо: √7 ≈ 2.6458, поэтому x1 ≈ 6.6458, x2 ≈ 1.3542.

2. Решение черезCompletion of the square (дополнительный способ)

• Приводим выражение к квадрату: x^2 - 8x + 9 = (x^2 - 8x + 16) - 7 = (x - 4)^2 - 7.
• Равняем нулю: (x - 4)^2 - 7 = 0 ⇒ (x - 4)^2 = 7.
• Тогда x - 4 = ±√7, следовательно x = 4 ± √7.
• Это даёт те же корни, как и первый способ.

3. Факторизация над иррациональными числами (иногда полезно увидеть форму)

• Можно записать разложение: x^2 - 8x + 9 = (x - (4 + √7))(x - (4 - √7)).
• Это верно, потому что произведение корней равно c = 9, сумма корней равна 8, и корни именно 4 ± √7.

4. Что это значит графически (для понимания)

• Поскольку a > 0, парабола открывается вверх.
• Вершина параболы в точке x = -b/(2a) = 8/2 = 4, значение y = f(4) = 4^2 - 8·4 + 9 = -7.
• Корни совпадают с точками пересечения графика с осью x: x ≈ 1.3542 и x ≈ 6.6458 (то есть 4 ± √7).

Если задача действительно только выражение x^2 - 8x + 9 без равенства нулю, то можно заметить: это уже упрощённая форма. Но для понимания решения уравнения выше получилось нагляднее показать все шаги и связи между различными методами.