Разберём и решим уравнение cos(2x) = sin(x + π).
Шаг 1. Упростим правую часть
sin(x + π) = - sin x (свойство синуса: синус сдвинут на π противоположен своему значению).
Тогда уравнение становится cos(2x) = - sin x.
Шаг 2. Выразимcos(2x) через sin x
cos(2x) = 1 - 2 sin²x.
Подставим в уравнение:
1 - 2 sin²x = - sin x.
Шаг 3. Приведём к квадратному уравнению относительно sin x
Перенесём все в одну сторону:
2 sin²x - sin x - 1 = 0.
Обозначим s = sin x. Получаем квадратное уравнение:
2s² - s - 1 = 0.
Шаг 4. Найдём корни квадратного уравнения
Разложим на множители:
(2s + 1)(s - 1) = 0.
Следовательно, sin x равно либо 1, либо -1/2.
Шаг 5. Найдём x для каждого случая
Случай 1: sin x = 1
Решение: x = π/2 + 2πk, где k ∈ ℤ.
Случай 2: sin x = -1/2
Общие решения:
x = 7π/6 + 2πk и x = 11π/6 + 2πk, где k ∈ ℤ.
(Это два угла в круге, где синус равен -1/2.)
Итак, все решения уравнения:
- x = π/2 + 2πk,
- x = 7π/6 + 2πk,
- x = 11π/6 + 2πk,
где k — любой целый неотрицательный или отрицательный целый.
Проверка по одному примеру:
Возьмём x = π/2. Тогда cos(2x) = cos(π) = -1, sin(x+π) = sin(3π/2) = -1. Совпадает, значит решение верно.
