В окружности провели диаметр 𝐴𝐵 и хорды 𝐴𝐶 и 𝐶𝐷 так, что 𝐴𝐶 = 12 см , ∠𝐵𝐴𝐶 =30∘, 𝐴𝐵┴ 𝐶𝐷. Найдите хорду 𝐶𝐷.

Задача: в окружности дан диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC = 12 см, ∠BAC = 30°, AB ⟂ CD. Найдите хорду CD.

Решение (пошагово):

1. Замечание по симметрии

• AB — диаметр, значит ось симметрии окружности — линия AB.
• Хорда CD перпендикулярна AB, следовательно точка D является отражением точки C относительно линии AB. Поэтому CD — хорда, состоящая из двух симметричных точек по отношению к AB, и ее длина равна удвоенной расстоянию от C до прямой AB.

2. Найдем расстояние от C до AB

• В треугольнике ABC угол при A равен ∠BAC = 30°, и AC является гипотенузой к этому небольшому прямому треугольнику, образованному высотой к AB.
• Расстояние от C до линии AB равно проекции side AC на направление, перпендикулярное AB, т.е. равно AC * sin ∠BAC.
• Значит расстояние = 12 · sin 30° = 12 · (1/2) = 6 см.

3. Найдем CD

• Так как D — отражение C относительно AB, CD = 2 · (расстояние от C до AB) = 2 · 6 = 12 см.

Ответ: CD = 12 см.

Дополнение: можно проверить координатно-аналитически, что при таких данных R окружности равен 4√3 и CD действительно равна 12, что согласуется с полученным результатом.