проведите прямую обозначте её буквой a и отметки точки Р, Q и R не лежащие на ней. опишите взаимное расположения точек A, B, P, Q, R и прямой a используя символы
Задача: провести прямую a; отметить точки P, Q, R, которые не лежат на ней; описать взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a с помощью символов.
Что известно по условию (символически):
- A и B лежат на прямой a: A ∈ a, B ∈ a.
- Tочки P, Q, R не лежат на прямой a: P ∉ a, Q ∉ a, R ∉ a.
Чтобы понадобились символы для описания положения относительно прямой a, вводим две полуплоскости, образованные прямой a:
- a+ — полуплоскость, лежащая "одной стороной" от a
- a− — полуплоскость, лежащая на другой стороне от a
Разные варианты взаимного расположения P, Q, R можно записать так (любую из перечисленных гибко можно выбрать для конкретной картинки):
1) Все три точки слева на одной стороне: P ∈ a+, Q ∈ a+, R ∈ a+
2) Все три точки слева на одной стороне, или все справа: P ∈ a−, Q ∈ a−, R ∈ a−
3) Две точки на одной стороне, одна на другой:
- например, P ∈ a+, Q ∈ a+, R ∈ a−
- или P ∈ a+, Q ∈ a−, R ∈ a−
- или P ∈ a−, Q ∈ a−, R ∈ a+
и т. д. (перестановки дают разные конфигурации)
Сжатая запись, которая охватывает все случаи:
- A ∈ a, B ∈ a, P ∉ a, Q ∉ a, R ∉ a, и
между P, Q, R можно выбрать любую разметку по полуплоскостям a+ и a−:
- {P, Q, R} ⊆ a+ (все на одной стороне),
- или {P, Q} ⊆ a+, R ∈ a− (две точки на одной стороне, одна на другой),
- или {P} ⊆ a+, {Q, R} ⊆ a− (одна точка на одной стороне, две на другой),
- или {P, Q, R} ⊆ a− (все на другой стороне).
Дополнительная поясняющая мысль (для понимания): линейные объекты в плоскости делят плоскость на две полуплоскости. Поскольку P, Q и R не лежат на прямой a, они обязательно окажутся в одной или в обеих полуплоскостях. По принципу перебора (паразитически по крайней мере две из трёх точек окажутся на одной стороне) можно рассмотреть все вышеуказанные варианты без противоречий.
Пример конкретной описательной записи:
- A ∈ a, B ∈ a, P ∈ a+, Q ∈ a+, R ∈ a−.
Это означает: A и B лежат на прямой a; P и Q — с одной стороны, R — с другой стороны от a.
Если нужно, могу привести простую схему ASCII или помочь подобрать конкретную конфигурацию под рисунок.
