Задача Задача №3343473
А
А
y=|x²-4|
Задача: y = |x^2 - 4|
Цель: понять, понять как строится график и какие он имеет свойства.
Пошаговое решение
- Разбираем выражение под модулем
- Внутри модуля u = x^2 - 4.
- x^2 - 4 ≥ 0 тогда, когда |x| ≥ 2 (то есть x ≤ -2 или x ≥ 2).
- x^2 - 4 < 0 тогда, когда -2 < x < 2.
- Записываем функцию по вариантам знака u
- Если |x| ≥ 2: y = |x^2 - 4| = x^2 - 4.
- Если -2 < x < 2: y = |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2.
Итого, можно записать так:
- y = x^2 - 4 при x ≤ -2 или x ≥ 2
- y = 4 - x^2 при -2 ≤ x ≤ 2 (при x = ±2 обе формулы дают 0, так что переключение не нарушает непрерывность)
- Основные свойства графика
- Область определения: вся числовая прямая (R).
- График симметричен относительно оси y (функция четная: y(x) = y(-x)).
- Пересечения со значениями 0: x-координаты при y = 0 получаем из |x^2 - 4| = 0 → x^2 = 4 → x = ±2. Значит точки (-2, 0) и (2, 0).
- Пересечение с осью y: при x = 0 получаем y = |0 - 4| = 4 → точка (0, 4).
- Минимум/максимум:
- В центральной части (-2 ≤ x ≤ 2) y = 4 - x^2 — это вогнутая парабола с вершиной в (0, 4).
- За пределами промежутка |x| ≥ 2 функция растет как y = x^2 - 4 (верхняя ветка параболы).
- Глобальный минимум функции достигается на точках x = ±2, где y = 0.
- Глобальный максимум на всей видимости не ограничен (y → ∞ при |x| → ∞).
- Градиент/кромка: в точках x = ±2 с обеих сторон значения переходят из одной формулы в другую, поэтому производная не определена там (есть «кромка»/ступенька), но функция непрерывна.
- Примеры значений (для наглядности)
- x = 0: y = |0 - 4| = 4
- x = 1: y = |1 - 4| = 3
- x = 2: y = |4 - 4| = 0
- x = 3: y = |9 - 4| = 5
- x = -1: y = |1 - 4| = 3
- x = -3: y = |9 - 4| = 5
- Как построить график (быстро)
- Нарисуйте две ветви параболы y = x^2 - 4, но только для x ≤ -2 и для x ≥ 2; они образуют две «ножки» вверх с минимумом в (±2, 0).
- Заполните внутри [-2, 2] центральную часть графика пунктиром мостикy: y = 4 - x^2, которая даёт вершину в (0, 4) и пересекает ось в (±2, 0).
- Соедините эти части непрерывно: график будет симметричным, с минимумами в точках (-2, 0) и (2, 0) и вершиной в (0, 4).
- Короткие выводы
- Функция y = |x^2 - 4| всегда неотрицательна: y ≥ 0.
- Обратимая парабола: центральная часть — вниз открытая парабола, окруженная снаружи двумя вверх открытыми ветвями той же параболы y = x^2 - 4.
- Глобальные важные точки: (-2, 0), (2, 0), (0, 4).
Если хотите, могу привести дополнительные задачи для тренировки:
- Найти y при заданном x, например x = 0, 2.5, -3.
- Найти решение уравнений вида |x^2 - 4| = a для конкретного a.
- Построить график по точкам и проверить форму.
