Y=|x²-4|

Задача: y = |x^2 - 4| Цель: понять, понять как строится график и какие он имеет свойства. Пошаговое решение 1) Разбираем выражение под модулем - Внутри модуля u = x^2 - 4. - x^2 - 4 ≥ 0 тогда, когда |x| ≥ 2 (то есть x ≤ -2 или x ≥ 2). - x^2 - 4 < 0 тогда, когда -2 < x < 2. 2) Записываем функцию по вариантам знака u - Если |x| ≥ 2: y = |x^2 - 4| = x^2 - 4. - Если -2 < x < 2: y = |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2. Итого, можно записать так: - y = x^2 - 4 при x ≤ -2 или x ≥ 2 - y = 4 - x^2 при -2 ≤ x ≤ 2 (при x = ±2 обе формулы дают 0, так что переключение не нарушает непрерывность) 3) Основные свойства графика - Область определения: вся числовая прямая (R). - График симметричен относительно оси y (функция четная: y(x) = y(-x)). - Пересечения со значениями 0: x-координаты при y = 0 получаем из |x^2 - 4| = 0 → x^2 = 4 → x = ±2. Значит точки (-2, 0) и (2, 0). - Пересечение с осью y: при x = 0 получаем y = |0 - 4| = 4 → точка (0, 4). - Минимум/максимум: - В центральной части (-2 ≤ x ≤ 2) y = 4 - x^2 — это вогнутая парабола с вершиной в (0, 4). - За пределами промежутка |x| ≥ 2 функция растет как y = x^2 - 4 (верхняя ветка параболы). - Глобальный минимум функции достигается на точках x = ±2, где y = 0. - Глобальный максимум на всей видимости не ограничен (y → ∞ при |x| → ∞). - Градиент/кромка: в точках x = ±2 с обеих сторон значения переходят из одной формулы в другую, поэтому производная не определена там (есть «кромка»/ступенька), но функция непрерывна. 4) Примеры значений (для наглядности) - x = 0: y = |0 - 4| = 4 - x = 1: y = |1 - 4| = 3 - x = 2: y = |4 - 4| = 0 - x = 3: y = |9 - 4| = 5 - x = -1: y = |1 - 4| = 3 - x = -3: y = |9 - 4| = 5 5) Как построить график (быстро) - Нарисуйте две ветви параболы y = x^2 - 4, но только для x ≤ -2 и для x ≥ 2; они образуют две «ножки» вверх с минимумом в (±2, 0). - Заполните внутри [-2, 2] центральную часть графика пунктиром мостикy: y = 4 - x^2, которая даёт вершину в (0, 4) и пересекает ось в (±2, 0). - Соедините эти части непрерывно: график будет симметричным, с минимумами в точках (-2, 0) и (2, 0) и вершиной в (0, 4). 6) Короткие выводы - Функция y = |x^2 - 4| всегда неотрицательна: y ≥ 0. - Обратимая парабола: центральная часть — вниз открытая парабола, окруженная снаружи двумя вверх открытыми ветвями той же параболы y = x^2 - 4. - Глобальные важные точки: (-2, 0), (2, 0), (0, 4). Если хотите, могу привести дополнительные задачи для тренировки: - Найти y при заданном x, например x = 0, 2.5, -3. - Найти решение уравнений вида |x^2 - 4| = a для конкретного a. - Построить график по точкам и проверить форму.