(а-4)х²-3ах+а-2=0

Задача: (a − 4)x^2 − 3a x + (a − 2) = 0 Цель: понять решение подробно. 1) Рассмотрение по кейсам - Если a = 4, то коэффициент при x^2 становится нулём, и уравнение становится линейным: -3a x + (a − 2) = 0 → при a = 4: -12x + 2 = 0 → x = 1/6. - Если a ≠ 4, уравнение квадратное по x, можно решить формулой корней квадратного уравнения. 2) Найдём дискриминант и корни для a ≠ 4 - А = a − 4, B = −3a, C = a − 2. - Дискриминант D = B^2 − 4AC = (−3a)^2 − 4(a − 4)(a − 2) = 9a^2 − 4(a^2 − 6a + 8) = 9a^2 − 4a^2 + 24a − 32 = 5a^2 + 24a − 32. - Корни квад. уравнения: x = [−B ± sqrt(D)] / (2A) = [3a ± sqrt(5a^2 + 24a − 32)] / [2(a − 4)]. Это действительны (на языке параметра a) тогда, когда D ≥ 0. 3) Условия существования вещественных корней - D ≥ 0 даёт вещественные корни. Классически, 5a^2 + 24a − 32 ≥ 0. Корни квадратичного уравнения по a: a = [−24 ± sqrt(24^2 − 4·5·(−32))] / (2·5) = [−24 ± sqrt(576 + 640)] / 10 = [−24 ± 8√19] / 10 = [−12 ± 4√19] / 5. - Следовательно, вещественные корни существуют для: a ≤ (−12 − 4√19)/5 или a ≥ (−12 + 4√19)/5. При a = 4 особый случай: линейное решение x = 1/6 (уравнение не является квадратным). 4) Нюансы и примеры - Пример 1: a = 2 (а ≠ 4) D = 5·4 + 24·2 − 32 = 20 + 48 − 32 = 36, sqrt(D) = 6. x = [3·2 ± 6] / [2(2 − 4)] = [6 ± 6] / (−4). x1 = 12/(−4) = −3, x2 = 0/(−4) = 0. Корни: x = 0 и x = −3. - Пример 2: a = 0 A = −4, B = 0, C = −2. D = 0^2 − 4(−4)(−2) = −32 < 0. Вещественных решений нет (есть комплексные: x = [0 ± i√32]/[2(−4)]). - Пример 3: a = 4 (особый случай) Решение: x = 1/6. 5) Итог - При a ≠ 4: x = [3a ± sqrt(5a^2 + 24a − 32)] / [2(a − 4)], вещественные корни существуют при D ≥ 0, то есть при a ≤ (−12 − 4√19)/5 или a ≥ (−12 + 4√19)/5. - При a = 4: x = 1/6. - При D < 0 вещественных корней нет (есть комплексные корни: x = [3a ± i sqrt(32 − 5a^2 − 24a)] / [2(a − 4)]). Если хотите, могу проверить конкретные значения a на наличие вещественных корней или привести ещё примеры под уровень вашей подготовки.