9х^4+77х^2-36=0

Задача: 9x^4 + 77x^2 - 36 = 0

Способ 1: замена t = x^2 (квадрат по x)

• Пусть t = x^2. Тогда получаем квадратное в t: 9t^2 + 77t - 36 = 0.
• Дискриминант: D = 77^2 - 4·9·(-36) = 5929 + 1296 = 7225. Корень: sqrt(D) = 85.
• Корни квадраного уравнения: t = (-77 ± 85) / (2·9).
  • t1 = (-77 + 85) / 18 = 8/18 = 4/9
  • t2 = (-77 - 85) / 18 = -162/18 = -9
• Так как t = x^2 ≥ 0 для действительных x, принимаем только t1:
  • x^2 = 4/9 → x = ± 2/3
• Дополнительно: если учитывать комплексные числа, то t2 = -9 даёт x^2 = -9 → x = ± 3i.

Способ 2: факторизация по t

• 9t^2 + 77t - 36 можно разложить как (9t - 4)(t + 9).
• Подставим t = x^2: (9x^2 - 4)(x^2 + 9) = 0.
• Равенства к нулю дают:
  • 9x^2 - 4 = 0 → x^2 = 4/9 → x = ± 2/3
  • x^2 + 9 = 0 → x = ± 3i

Итоги

• Реальные решения: x = -2/3 и x = 2/3.
• Комплексные решения (если их разрешено учитывать): x = ± 3i.