В равносторонем треугольнике АBC биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O.Найдите угол AOE между биссектрисы треугольника ABC

Решение: - В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Точки D и E — основания биссектрис AD и BE соответственно, а O — их точка пересечения. Значит O является окружителем вписанного треугольника (инцентр), и AO лежит на биссектрисе угла A, а BO лежит на биссектрисе угла B. Поэтому: - A, O, D коллинеарны по линии биссектрисы при A, то есть OA направлена вдоль AI. - B, O, E коллинеарны по линии биссектрисы при B, то есть OE направлена вдоль BI. - Следовательно угол AOE равен углу AIB (A, O, E — точки на линиях IA и IB). - В треугольнике AIB углы при A и B равны половине соответствующих углов треугольника ABC: - ∠IAB = ∠CAB / 2 = 60°/2 = 30° - ∠IBA = ∠CBA / 2 = 60°/2 = 30° Тогда ∠AIB = 180° − (30° + 30°) = 120°. Ответ: угол AOE = 120°. (Альтернативно можно упомянуть общую формулу ∠AIB = 90° + ∠C/2; для равностороннего треугольника ∠C = 60°, даёт 120°.)