Задача, как записана, содержит вероятную опечатку. Скорее всего имелось в виду доказать тождество (A ∩ B) ∪ B = B. Это истинно по закону поглощения. Любое утверждение вида (A ∩ B) ∪ B = A ∪ B верно не во всех случаях (например, A = {1}, B = {2} даёт {2} ≠ {1,2}). Ниже приведено подробное решение для правильного тождества и объяснение условий равенства с A ∪ B.
Цель: понять и подробно разобрать.
Доказательство (а): (A ∩ B) ∪ B = B
Шаг 1. Используем коммутативность объединения:
(A ∩ B) ∪ B = B ∪ (A ∩ B)
Шаг 2. Применяем закон поглощения: X ∪ (X ∩ Y) = X
Здесь X = B, Y = A. Тогда
B ∪ (A ∩ B) = B
Следовательно, (A ∩ B) ∪ B = B.
Комментарий к задаче: чтобы сравнить с A ∪ B, надо понять, когда B = A ∪ B. Это происходит тогда, когда A ⊆ B (то есть все элементы A уже contained в B). В этом случае A ∪ B = B, и тогда
(A ∩ B) ∪ B = B = A ∪ B.
Дополнительные пояснения (наглядно):
- Обычно (A ∩ B) ∪ B строится как «B плюс те элементы A, которые уже в B»; такие элементы уже находятся в B, поэтому результат просто B.
- В общем случае левая часть не равна A ∪ B (пример: A = {1}, B = {2} даёт {2} против {1,2}).
Итоговый вывод:
- Правильное тождество: (A ∩ B) ∪ B = B.
- Это тождество верно для любых множеств A и B.
- Чтобы получить равенство с A ∪ B, нужно условие A ⊆ B; тогда A ∪ B = B и обе стороны равны B.
