Пусть точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 не лежат на одной прямой. Отметим на прямой 𝐴𝐵 точку 𝐷, а на прямой 𝐴𝐶 – точку 𝐸. Доказать, что точка 𝐹 прямой 𝐷𝐸 лежит в плоскости 𝐴𝐵𝐶.
Коротко скажем задачу: A, B, C не лежат на одной прямой. D лежит на AB, E лежит на AC. Нужно показать, что любая точка F на линии DE лежит в плоскости ABC.
Пошаговое решение:
Существует единственная плоскость π, проходящая через точки A, B и C, потому что они не коллинеарны.
Так как D лежит на AB, а AB — прямая, проходящая через A и B, то D принадлежит AB. Но AB лежит в плоскости π, следовательно D ∈ π.
Аналогично E лежит на AC, и AC лежит в плоскости π, значит E ∈ π.
Из того, что D ∈ π и E ∈ π, следует, что прямая DE лежит в плоскости π (прямая определяется двумя своими точками, и если эти точки лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой же плоскости).
Любая точка F на линии DE принадлежит той же плоскости π, то есть F ∈ π.
Но π есть плоскость ABC. Значит F лежит в плоскости ABC.
Заключение: Любая точка F на линии DE принадлежит плоскости ABC.
Дополнительная альтернатива (координатное доказательство, по желанию):
- Можно выбратьRigid motion так, чтобы плоскость ABC стала координатной плоскостью z = 0 и точки A, B, C были A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0).
- Тогда D = (t, 0, 0) на AB, E = (0, s, 0) на AC.
- Прямая DE задаётся параметрически как: (t,0,0) + λ[(0,s,0) - (t,0,0)] = (t(1-λ), sλ, 0).
- Для любого λ принадлежность к плоскости z = 0 очевидна, значит вся DE лежит в плоскости ABC, и любая точка F на DE тоже в этой плоскости.
