Начертите произвольную прямую отметьте точку не лежащую на этой прямой рисунок 52 и проверьте через эту точку прямую перпендикулярная первой прямой
Задача: начать с произвольной прямой l и точки P, не лежащей на l, провести через P прямую, перпендикулярную l, и проверить это.
Пошаговое решение (для средней школы, с пояснениями):
Пусть дана прямая l и точка P, не лежащая на l.
Построим окружность с центром в P и радиусом r так, чтобы окружность пересекла прямую l в две точки A и B. Выбирайте радиус так, чтобы расстояние от P до l было меньше r; тогда получится две точки пересечения. (Если вы сначала не нашли такие точки, просто возьмите больший радиус.)
Соединим точку A и точку B; полученная прямая AB лежит на l (так как A и B лежат на l).
Теперь построим перпендикуляр к AB через P. Для этого построим биссектрису отрезка AB:
- Проведём окружности с центрами A и B и радиусами AB. Эти две окружности пересекутся в две точки C и D.
- Прямая CD является перпендикуляром к AB и является её перпендикуляром через середину AB (это свойство окружностей: пересечения дают перпендикуляр к основанию). Также заметим, что P лежит на этой бисектрисе, потому что PA = PB (радиус окружности, due to step 2).
Обозначим точку M как пересечение CD и AB. Тогда M — середина AB, и прямая PM совпадает с прямой CD. Эта прямая PM перпендикулярна AB (и, значит, l, так как AB лежит на l), и проходит через P.
Следовательно, прямая PM является искомой прямой через P, перпендикулярной заданной прямой l.
Пояснение проверки (почему это перпендикуляр):
- CD — перпендикуляр к AB, потому что CD — перпендикуляр к отрезку AB и проходит через его середину.
- AB лежит на заданной прямой l, значит CD перпендикулярна l.
- Так как P лежит на CD (он является центром окружности, через которую мы нашли AB), прямая CD проходит через P. Значит искомая прямая через P и перпендикулярная l совпадает с CD.
Дополнительный комментарий:
- Этот метод универсален для любой произвольной прямой и любой точки вне неё: существует ровно одна прямая через P, перпендикулярная l.
- В рисунке (если у вас есть рисунок 52) можно отметить: точка P вне л; точки A и B на l как точки пересечения с выбранной окружностью; прямую CD как искомую перпендикулярную через P; точка M — пересечение AB и CD, подтверждающая, что CD ⟂ AB и проходит через P.
Если хотите, могу привести альтернативный способ построения перпендикуляра через заданную точку к прямой l, например без использования биссектрисы AB, но вышеописанный способ — один из самых наглядных и стандартных в школе.
