3^2x-1 + 3^2x = 108

Предположим наиболее естественную трактовку задачи: 3^(2x-1) + 3^(2x) = 108.

Пошаговое решение:

1. Заметим, что 3^(2x) можно переписать через 3^(2x-1): 3^(2x) = 3 · 3^(2x-1). Тогда левая часть будет: 3^(2x-1) + 3 · 3^(2x-1) = (1 + 3) · 3^(2x-1) = 4 · 3^(2x-1).

2. Следовательно, уравнение принимает вид: 4 · 3^(2x-1) = 108.

3. Разделим обе стороны на 4: 3^(2x-1) = 27.

4. 27 можно записать как 3^3, поэтому имеем: 3^(2x-1) = 3^3.

5. По равенству степеней при одном основании получаем: 2x - 1 = 3 → 2x = 4 → x = 2.

6. Проверка: 3^(2x-1) = 3^3 = 27, 3^(2x) = 3^4 = 81, сумма 27 + 81 = 108. Верно.

Ответ: x = 2.

Примечание на случай другой трактовки: Если имелось в виду 3^(2x) - 1 + 3^(2x) = 108, то:

• 2·3^(2x) - 1 = 108 → 3^(2x) = 54.5.
• x = log_3(54.5) / 2 ≈ 1.82 (приближенно). Но исходная задача чаще всего записывается именно так, чтобы получить целое решение x = 2.