1,3(47) решить через геометрическую прогрессию

Задача, судя по написанию, записывается как десятичная дробь с повторяющейся частью: 1,3(47) значит число 1.3474747..., где после запятой не повторяется только цифра 3, а затем повторяется блок 47. Цель: понять решение через геометрическую прогрессию. 1) Классический способ (быстрое решение) Пусть x = 1.3474747... - non-repeating часть после запятой имеет длину a = 1, repeating блок имеет длину b = 2. - Умножим так, чтобы «сдвинуть» не повторяющуюся часть: 10x = 13.474747... 1000x = 1347.474747... - Вычтем: 1000x − 10x = 1347.474747... − 13.474747... = 1334. - Следовательно, 990x = 1334, поэтому x = 1334/990 = 667/495. - Примерно x ≈ 1.3474747... 2) Решение через геометрическую прогрессию (расписываем через суммы геометрических рядов) Разобьём дробную часть на две части, связанные с повторяющимся блоком 47. Пусть x = 1.3474747... Разложим как: x = 1 + 0.3 + (0.0474747...) = 1 + 3/10 + (4/100) + (7/1000) + (4/10000) + (7/100000) + ... Далее заметим, что цифры 4 и 7 после третьей позиции формируют две геометрические подпоследовательности с общим отношением 1/100: - S1 = сумма по всем чётным степеням: 4/10^2 + 4/10^4 + 4/10^6 + ... = 4/100 + 4/10000 + 4/1000000 + ... = (4/100) / (1 − 1/100) = 4/99. - S2 = сумма по всем нечётным степеням начиная с 7 на позиции 3: 7/10^3 + 7/10^5 + 7/10^7 + ... = (7/1000) / (1 − 1/100) = 7/990. Тогда хвост дробной части: 0.3474747... = 0.3 + S1 + S2 = 3/10 + 4/99 + 7/990. Окончательно: x = 1 + 3/10 + 4/99 + 7/990 = (основание) = 667/495. Итого через геометрическую прогрессию получили тот же ответ: 1,3(47) = 667/495 ≈ 1.3474747... Кратко: 1,3(47) = 1.3474747..., и через GP можно представить как сумму двух геометрических рядов: - 4/10^2 + 4/10^4 + 4/10^6 + ... = 4/99 - 7/10^3 + 7/10^5 + 7/10^7 + ... = 7/990 плюс 3/10 и единицу в целом выражении.