Решите неравенство x(|3x-8|-|x-2|)<=|3x-8|-2|x-2|

Задача: решить неравенство x(|3x-8| - |x-2|) ≤ |3x-8| - 2|x-2|. 1) Перепишем неравенство в удобной форме. Пусть A = |3x-8| и B = |x-2|. Тогда неравенство x(A - B) ≤ A - 2B приводится к (x-1)A + (2 - x)B ≤ 0. 2) Разделим область по знакам B и A (то есть по x = 2 и x = 8/3), потому что A и B выражаются через абсолютные значения. Рассмотрим три региона: - Регион I: x < 2 B = |x-2| = 2 - x > 0. Так как x < 2 и x < 8/3, то 3x - 8 < 0, значит A = |3x-8| = 8 - 3x. Подставляем: (x-1)A + (2 - x)B = (x-1)(8-3x) + (2 - x)(2 - x) = (-3x^2 + 11x - 8) + (4 - 4x + x^2) = -2x^2 + 7x - 4. Неравенство: -2x^2 + 7x - 4 ≤ 0. Эквивалентно 2x^2 - 7x + 4 ≥ 0. Корни квадр. 2x^2 - 7x + 4 = 0: x = (7 ± √17)/4. Следовательно решение в этом регионе: x ≤ (7 - √17)/4 (поскольку x < 2 и второй корень ближе к 2, но он ≈ 2.78 > 2, так что в этом регионе он не применяется). Регион I → x ∈ (-∞, (7 - √17)/4]. - Регион II: 2 ≤ x ≤ 8/3 B = |x-2| = x - 2 ≥ 0. A = |3x-8| = 8 - 3x (поскольку x ≤ 8/3). Подставляем: (x-1)A + (2 - x)B = (x-1)(8-3x) + (2 - x)(x-2) = (-3x^2 + 11x - 8) + (-(x-2)^2) = -3x^2 + 11x - 8 - (x^2 - 4x + 4) = -4x^2 + 15x - 12. Неравенство: -4x^2 + 15x - 12 ≤ 0. Эквивалентно 4x^2 - 15x + 12 ≥ 0. Корни: x = [15 ± √33]/8. В регионе II учитываем x ∈ [2, 8/3], и учитывая, что первый корень ≈ 1.16 (меньше 2), а второй ≈ 2.5931, получаем: Region II → x ≥ (15 + √33)/8. В пересечении with [2, 8/3] это даёт: x ∈ [ (15 + √33)/8, 8/3 ]. - Регион III: x > 8/3 B = |x-2| = x - 2 ≥ 0. A = |3x-8| = 3x - 8 (поскольку x > 8/3). Подставляем: (x-1)A + (2 - x)B = (x-1)(3x-8) + (2 - x)(x-2) = (3x^2 - 11x + 8) + ( - (x-2)^2 ) = 3x^2 - 11x + 8 - (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 - 7x + 4. Неравенство: 2x^2 - 7x + 4 ≤ 0. Корни те же, что в регион I: x = (7 ± √17)/4. В регионе III учитываем x > 8/3, поэтому получаем: Region III → x ∈ [ 8/3, (7 + √17)/4 ]. 3) Объединим все регионы. - Регион I: (-∞, (7 - √17)/4] - Регион II: [ (15 + √33)/8, 8/3 ] - Регион III: [ 8/3, (7 + √17)/4 ] С учётом того, что 8/3 соединяет регионы II и III, получаем объединение: (-∞, (7 - √17)/4] ∪ [ (15 + √33)/8, (7 + √17)/4 ]. 4) Проверка на концах и числовые значения - (7 - √17)/4 ≈ 0.7193 - (15 + √33)/8 ≈ 2.5931 - (7 + √17)/4 ≈ 2.7808 Примеры: - x = 0: подходит (менее 0.7193). Неравенство выполняется. - x = 2.6: подходит, в диапазоне [2.5931, 2.666...], неравенство выполняется. - x = 2.7: подходит, в диапазоне [8/3, 2.7808], неравенство выполняется. - x = 2.8: не входит в решение, как и проверили численно. Ответ: x ∈ (-∞, (7 - √17)/4] ∪ [ (15 + √33)/8, (7 + √17)/4 ]. Если нужно, могу привести более детчные проверки на нескольких конкретных значениях или график функции левой и правой части.